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⠀⠀Ao fatorar e efetuar as simplificações na fração algébrica proposta, obtém-se b) [tex]\small\text{$\boldsymbol{\sf\frac{b\,+\,c}{a\,+\,c}}$}[/tex] (alternativa correta).
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⠀⠀De início o exercício nos dá a seguinte fração algébrica:
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[tex]\large\text{$\sf\dfrac{-\,ab^2+b^2c+bc^2+ac^2-a^2c-a^2b}{a^2c+2abc+b^2c-a^3-2a^2b-ab^2}$}[/tex]
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⠀⠀Precisamos fatorar e efetuar as simplificações para reduzi-la ao máximo. Dando uma breve análise percebo que no denominador é muito mais fácil, chega ser até óbvio, pois veja que colocando o fator comum em evidência nos primeiros três termos e também nos últimos três termos poderemos efetuar o agrupamento:
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[tex]\begin{array}{l}\implies~~~~\sf\dfrac{-\,ab^2+b^2c+bc^2+ac^2-a^2c-a^2b}{a^2c+2abc+b^2c-a^3-2a^2b-ab^2}\\\\\\\implies~~~~\sf\dfrac{-\,ab^2+b^2c+bc^2+ac^2-a^2c-a^2b}{c(a^2+2ab+b^2)-a(a^2+2ab+b^2)}\\\\\\\implies~~~~\sf\dfrac{-\,ab^2+b^2c+bc^2+ac^2-a^2c-a^2b}{(c-a)(a^2+2ab+b^2)}\\\\\\\implies~~~~\sf\dfrac{-\,ab^2+b^2c+bc^2+ac^2-a^2c-a^2b}{(c-a)(a+b)^2}\end{array}[/tex]
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⠀⠀Agora para fatorar o numerador é um pouco mais complicado... então devemos fatorar com o intuito de evidenciar um termo igual ao do numerador para que seja possível cancelá-los. Com base nisso, vamos tentar evidenciar o termo ''(c - a)'', e pra isso ocorrer não dá somente para fazermos igual no denominador, é preciso mudar algumas parcelas e ir tentando. Eu consegui fazendo da seguinte forma:
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[tex]\begin{array}{l}\implies~~~~\sf\dfrac{-\,ab^2+b^2c+bc^2+ac^2-a^2c-a^2b}{(c-a)(a+b)^2}\\\\\\\implies~~~~\sf\dfrac{b^2c-ab^2+ac^2-a^2c+bc^2-a^2b}{(c-a)(a+b)^2}\\\\\\\implies~~~~\sf\dfrac{b^2(c-a)+ac(c-a)+b(c^2-a^2)}{(c-a)(a+b)^2}\\\\\\\implies~~~~\sf\dfrac{(c-a)(b^2+ac)+b(c+a)(c-a)}{(c-a)(a+b)^2}\\\\\\\implies~~~~\sf\dfrac{(c-a)[(b^2+ac)+b(c+a)]}{(c-a)(a+b)^2}\end{array}[/tex]
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⠀⠀Agora sim! Veja que podemos cancelar os fatores iguais e continuar desenvolvendo pra simplificar mais ainda:
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[tex]\begin{array}{l}\implies~~~~\sf\dfrac{(b^2+ac)+b(c+a)}{(a+b)^2}\\\\\\\implies~~~~\sf\dfrac{b^2+ac+bc+ab}{(a+b)^2}\\\\\\\implies~~~~\sf\dfrac{b^2+bc+ab+ac}{(a+b)^2}\\\\\\\implies~~~~\sf\dfrac{b(b+c)+a(b+c)}{(a+b)^2}\\\\\\\implies~~~~\sf\dfrac{\cancel{(a+b)}(b+c)}{(a+b)^{\cancel{2}}}\\\\\\\implies~~~~\sf\dfrac{b+c}{a+b}\end{array}[/tex]
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⠀⠀Dessa forma, após desenvolver os produtos foi possível fatorar por agrupamento de modo que pudéssemos cancelar os fatores ''(a + b)''.
⠀⠀Podemos concluir que a forma fatorada de [tex]\footnotesize\text{$\sf\frac{-\,ab^2+b^2c+bc^2+ac^2-a^2c-a^2b}{a^2c+2abc+b^2c-a^3-2a^2b-ab^2}$}[/tex] é igual a [tex]\small\text{$\sf\frac{b+c}{a+b}$}[/tex] e, portanto, a alternativa b) é a correta.
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[tex]\large\boldsymbol{\text{$\mathsf{-x-}~~Q\upsilon es\tau\alpha\theta~f\iota\eta\alpha l\iota z\alpha\delta\alpha~~\mathsf{-x-}$}}[/tex]
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[tex]\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}[/tex]
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[tex]\large\boldsymbol{\text{$O\beta r\iota g\alpha\delta\theta~\rho el\alpha~q\upsilon es\tau\alpha\theta~e~\upsilon m~cor\delta\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!~\heartsuit\heartsuit$}}[/tex]
