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Sagot :
Olá, boa noite.
Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.
Primeiro, fazemos uma substituição [tex]u=x^2+8x+11[/tex]. Diferenciamos ambos os lados em respeito à variável [tex]x[/tex]:
[tex]\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(x^2+8x+11)[/tex]
Para calcular esta derivada, lembre-se que:
- A derivada de uma função [tex]u=u(x)[/tex] é dita implícita e é calculada de acordo com a regra da cadeia: [tex]\dfrac{d}{dx}(u(x))=\dfrac{d}{du}(u(x))\cdot \dfrac{du}{dx}[/tex].
- A derivada é um operador linear, logo vale que: [tex]\dfrac{d}{dx}(\alpha\cdot f(x)+\beta\cdot g(x))=\alpha\cdot \dfrac{d}{dx}(f(x))+\beta\cdot \dfrac{d}{dx}(g(x))[/tex].
- A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}[/tex].
Aplique a linearidade e a regra da cadeia
[tex]\dfrac{d}{du}(u)\cdot \dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}(x^2)+8\cdot \dfrac{d}{dx}(x)+11\cdot \dfrac{d}{dx}(1)[/tex]
Aplique a regra da potência, sabendo que [tex]x=x^1[/tex] e [tex]1=x^0[/tex]
[tex]1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dx}=2\cdot x^{2-1}+8\cdot 1\cdot x^{1-1}+11\cdot 0\cdot x^{0-1}\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=2x+8[/tex]
Multiplique ambos os lados da igualdade pelo diferencial [tex]dx[/tex]
[tex]du=(2x+8)\,dx[/tex]
Substituindo este elemento na integral, teremos:
[tex]\displaystyle{\int u^7\,du}[/tex]
Para resolvermos esta integral, lembre-se que:
- A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1[/tex].
- De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a primitiva de uma função [tex]f(x)[/tex] é a família de funções [tex]F(x)+C[/tex], onde [tex]F(x)=\displaystyle{\int f(x)\,dx}[/tex] e [tex]C\in\mathbb{R}[/tex] é uma constante arbitrária.
Aplique a regra da potência
[tex]\dfrac{u^{7+1}}{7+1}[/tex]
Some os valores no expoente e denominador e adicione a constante de integração
[tex]\dfrac{u^8}{8}+C,~C\in\mathbb{R}[/tex]
Desfaça a substituição [tex]u=x^2+8x+11[/tex]
[tex]\boxed{\dfrac{(x^2+8x+11)^8}{8}+C,~C\in\mathbb{R}}~~\checkmark[/tex]
Este é o resultado desta integral.
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