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ALGUÉM PODE ME AJUDAR NESSE SISTEMA?

X²+Y²=17

XY=4



Sagot :

Temos que:

 

[tex]\begin{cases} \text{x}^2+\text{y}^2=17 \\ \text{xy}=4 \end{cases}[/tex]

 

Da segunda equação, obtemos:

 

[tex]\text{x}=\dfrac{4}{\text{y}}[/tex]

 

Substituindo na primeira equação, temos:

 

[tex]\left(\dfrac{4}{\text{y}}\right)^2+\text{y}^2=17[/tex]

 

[tex]\dfrac{16}{\text{y}^2}+\text{y}^2=17[/tex]

 

Donde, obtemos:

 

[tex]16+\text{y}^4=17\text{y}^2[/tex]

 

[tex]\text{y}^4-17\text{y}^2+16=0[/tex]

 

Chegamos à uma equação biquadrada.

 

Seja [tex]\text{y}^2=\text{x}[/tex]

 

[tex](\text{y}^2)^2-17\text{y}^2+16=0[/tex]

 

[tex]\text{x}^2-17\text{x}+16=0[/tex] 

 

[tex]\text{x}=\dfrac{-(-17)\pm\sqrt{(-17)^2-4\cdot1\cdot16}}{2\cdot1}=\dfrac{17\pm15}{2}[/tex]

 

[tex]\text{x}'=\dfrac{17+15}{2}=16[/tex]

 

[tex]\text{x}"=\dfrac{17-15}{2}=1[/tex]

 

Como [tex]\text{y}^2=\text{x}[/tex], temos que:

 

[tex]\text{y}^2=16[/tex]

 

[tex]\text{y}=\pm4[/tex]

 

Analogamente, obtemos:

 

[tex]\text{y}^2=1[/tex]

 

[tex]\text{y}=\pm1[/tex]

 

Para [tex]\text{y}=\pm4[/tex], temos que:

 

[tex]\text{x}=\dfrac{4}{4}=1[/tex]

 

Ou

 

[tex]\text{x}=\dfrac{4}{-4}=-1[/tex]

 

Para [tex]\text{y}=\pm1[/tex], temos que:

 

[tex]\text{x}=\dfrac{4}{1}=4[/tex]

 

Ou

 

[tex]\text{x}=\dfrac{4}{-1}=-4[/tex]

 

Logo, os pares ordenados [tex](\text{x}, \text{y})[/tex] que satisfazem o sistema em questão são:

 

[tex](\text{x}, \text{y})=(1, 4), (-1, -4), (4, 1), (-4, -1)[/tex]