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Uma equação de reta, que contém o ponto médio do segmento de extremos (-2; -1) e (5; 4) e que é perpendicular a esse segmento, pode escrever-se:
Primeiramente vamos calcular o coeficiente angular do segmento:
Usaremos a fórmula da GA:
[tex]m_{seg}=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{a}-x{B}}[/tex]
[tex]m_{seg}=\frac{-1-4}{-2-5}\Rightarrow m_{seg}=\frac{5}{7}[/tex]
Agora vamos encontrar as coordenadas do ponto médio do segmento.
Usaremos a seguinte fórmula da GA:
[tex]x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}[/tex]
e
[tex]y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}[/tex]
Neste caso[tex]x_{M}=\frac{-2+5}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
e
[tex]y_{M}=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
sabemos que a condição de perpendicularidade entre uma reta r e um segmento AB é a seguinte[tex]m_{r}=\frac{-1}{m_{seg}}[/tex]:
Assim o coeficiente angular da reta procurada é[tex]m_{r}=\frac{-1}{\frac{5}{7}}=\frac{-7}{5}[/tex]:
Como a reta passa no ponto médio de AB, podemos escrever a equação fundamental:
[tex]y-y_{M}=m_{r}\cdot(x-x_{M})[/tex]
Ou seja[tex]y-\frac{3}{2}=-\frac{-7}{5} \cdot (x-\frac{3}{2})[/tex]:
Olá, Summer.
O segmento de reta r que une os pontos (-2;-1) e (5;4) possui coeficiente angular:
[tex]m_r=\frac{4-(-1)}{5-(-2)}=\frac57[/tex]
A reta s que queremos encontrar é perpendicular ao segmento r. A relação, portanto, entre seus coeficientes angulares é:
[tex]m_r\cdot m_s=-1 \Rightarrow \frac57 m_s=-1 \Rightarrow \boxed{m_s=-\frac75}[/tex]
Já obtivemos o coeficiente angular da reta procurada. Falta, agora, o coeficiente linear.
O coeficiente linear é obtido substituindo-se o ponto médio dos extremos na equação procurada:
[tex](-2; -1)\text{ e }(5; 4) \Rightarrow \text{Ponto m\'edio = }(\frac{-2+5}2;\frac{-1+4}2)=(\frac32;\frac32) \\\\ y=m_s \cdot x + p \Rightarrow \frac32=-\frac75 \cdot \frac32+p \Rightarrow \frac32=-\frac{21}{10}+p \Rightarrow p=\frac{15+21}{10} \Rightarrow \\\\ p=\frac{36}{10} \Rightarrow \boxed{p=\frac{18}5}[/tex]
A equação da reta procurada é, portanto:
[tex]y=m_s\cdot x+p \Rightarrow \boxed{y=-\frac75x+\frac{18}5}[/tex]