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Resposta:
A equação da reta que passa pelos centros dos círculos C1 e C2 é x+y=0.
Explicação passo a passo:
Vamos completar o produto notável nas equações de C1 e C2 somando e subtraindo o número 4 aos termos envolvendo x e y:
x^2 + 4*x + y^2 -4*y = -7
x^2 + 4*x + 4 - 4 + y^2 - 4*y + 4 - 4 = -7
(x+2)^2 +(y-2)^2 - 8 = -7
(x+2)^2 +(y-2)^2 = -7 + 8 = 1
O centro do círculo C1 fica então em (-2,2)
x^2 - 4*x + y^2 + 4*y = -7
x^2 - 4*x + 4 - 4 + y^2 + 4*y + 4 - 4 = -7
(x-2)^2 + (y+2)^2 - 8 = -7
(x-2)^2 + (y+2)^2 = -7 + 8 = 1
O centro do círculo C2 fica então em (2,-2)
A equação geral da reta é:
a*x + b*y = c
Substituindo os valores de (x,y) do centro dos dois círculos:
a*-2 + b*2 = c (i)
a*2 + b*-2 = c (ii)
Somando as duas equações:
2*c = 0
=> c = 0
Substituindo c=0 em (i):
-2*a + 2 * b = 0
=> 2*a = 2* b
=> a = b
Portanto a equação da reta fica:
a*x + a*y = 0
=> x + y = 0, se a ≠ 0