✅ seno do ângulo:
A "soma do quadrado do seno com o quadrado do cosseno é igual a unidade", ou seja:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}sen^{2}x + cos^{2}x = 1 \end{gathered}$}[/tex]
Se o cosseno é igual à 2/5, então:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}sen^{2}x + \Big(\frac{2}{5} \Big)^{2} = 1 \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}sen^{2}x + \frac{2^{2} }{5^{2} } = 1 \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}sen^{2}x + \frac{4}{25} = 1 \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}sen^{2}x = 1 - \frac{4}{25} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}sen^{2} x = \frac{25 - 4}{25} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}sen^{2}x = \frac{21}{25} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}sen\ x = \pm \sqrt{\frac{21}{25} } \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}sen\ x = \pm\frac{\sqrt{21} }{\sqrt{25} } \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}sen\ x = \pm\frac{\sqrt{21} }{5} \end{gathered}$}[/tex]
Como o "x" está sendo restrito ao intervalo:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi \end{gathered}$}[/tex]
✅ Significa dizer que "x" será um ângulo maior que 270° e menor que 360°:
Desse modo, o sinal do seno de "x" para este intervalo é "-" (negativo). Então, o seno procurado é:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}sen\ x = -\frac{\sqrt{21} }{5} \end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, a resposta é:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}sen\ x \cong -0,91651 \end{gathered}$}[/tex]
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Veja também o esquema gráfico:
