Resposta:
0,64 m²
Explicação passo a passo:
Inicialmente, uniremos os centros dos três círculos para formarmos um triângulo equilátero e lados iguais (4 m). Em seguida, calcularemos a área total do triângulo formado para, depois, subtrair dessa as áreas de cada setor circular formado nos círculos.
Bom, partiremos para o cálculo da área do triângulo. Para isso, admitiremos sua altura [tex]h[/tex] com lados de 4 m cada. Assim:
[tex]4^{2}=2^{2}+h^{2}\\16=4+h^{2}\\12=h^{2}\\h=2\sqrt{3} m[/tex]
Calculando a área do triângulo...
[tex]A_{triangulo}=b*h/2\\A_{triangulo}=4*2\sqrt{3}/2\\A_{triangulo}=4\sqrt{3} m^{2}[/tex]
Agora, calcularemos a área dos setores circulares. Por serem idênticos (60º) terão a mesma área. Portanto, calcularemos a área de qualquer um dos três setores e multiplicaremos por 3.
Bom, se considerássemos um círculo inteiro, teríamos que [tex]A_{circulo}=\pi *r^{2}[/tex], considerando 360º. Contudo, o nosso setor tem apenas 60º, sendo, portanto, [tex]\frac{1}{6}[/tex] parte de uma circunferência completa - [tex]360/60=6[/tex] partes iguais.
Assim, a área do setor circular de 60º é:
[tex]A_{setor60}=\frac{1}{6}*\pi *r^{2}=\frac{\pi*r^{2} }{6}\\A_{setor60}=\pi *2^{2}/6\\A_{setor60}=4*\pi /6\\A_{setor60}=2*\pi /3[/tex]
Como são três setores, multiplicaremos por 3 como dito anteriormente.
[tex]A_{3setores}=3*(\frac{2\pi }{3} )\\A_{3setores}=2\pi[/tex]
Agora só nos falta subtrair de [tex]A_{triangulo}[/tex] o valor de [tex]A_{3setores}[/tex].
[tex]A_{pintada}=A_{triangulo}-A_{3setores}\\A_{pintada}=4\sqrt{3}-2\pi[/tex]
(Considerando [tex]\sqrt{3}=1,73[/tex] e [tex]\pi =3,14[/tex])
[tex]A_{pintada}=(4*1,73)-(2*3,14)\\A_{pintada}=6,92-6,28\\A_{pintada}=0,64 m^{2}[/tex]
