Sabe-se que, para dois ângulos [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], [tex]\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a[/tex], logo:
[tex]\sin(30^\circ+\alpha)=\sin30^\circ\cos\alpha+\cos30^\circ\sin\alpha[/tex]
De forma análoga, [tex]\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a[/tex], logo:
[tex]\sin(30^\circ-\alpha)=\sin30^\circ\cos\alpha-\cos30^\circ\sin\alpha[/tex]
Concluindo assim que:
[tex]\sin(30^\circ+\alpha)+\sin(30^\circ-\alpha)=(\sin30^\circ\cos\alpha+\sin30^\circ\cos\alpha)+(\cos30^\circ\sin\alpha-\cos30^\circ\sin\alpha)[/tex]
[tex]\sin(30^\circ+\alpha)+\sin(30^\circ-\alpha)=2\sin30^\circ\cos\alpha[/tex]
[tex]\sin(30^\circ+\alpha)+\sin(30^\circ-\alpha)=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\cos\alpha[/tex]
[tex]\sin(30^\circ+\alpha)+\sin(30^\circ-\alpha)=\cos\alpha[/tex]
