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Seja f(x, y) = x² + 4y². Calcule a derivada direcional de f no ponto (1, 3) na
direção do vetor u = (2, 5).

Sagot :

Zecolidn

Resposta:

[tex]D_uf=\frac{124\sqrt{29}}{29}[/tex]

Explicação passo a passo:

Vamos inicialmente calcular o gradiente da função. Temos que:

[tex]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\iff \frac{\partial f}{\partial x}(1,3)=2[/tex]

[tex]\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=8y\iff \frac{\partial f}{\partial y}(1,3)=24[/tex]

Daí tiramos que [tex]\nabla f=(2,24)[/tex]. Como [tex]u[/tex] não é unitário, dividimos ele por seu módulo, obtendo seu versor:

[tex]u_0=\frac{u}{||u||}=\frac{(2,5)}{\sqrt{29}}=\left(\frac{2\sqrt{29}}{29},\frac{5\sqrt{29}}{29}\right)[/tex]

Concluindo assim que:

[tex]D_uf=\nabla f\cdot u_0[/tex]

[tex]D_uf=(2,24)\cdot\left(\frac{2\sqrt{29}}{29},\frac{5\sqrt{29}}{29}\right)[/tex]

[tex]D_uf=\frac{4\sqrt{29}}{29}+\frac{120\sqrt{29}}{29}[/tex]

[tex]D_uf=\frac{124\sqrt{29}}{29}[/tex]

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