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Sagot :
Considere um triângulo equilátero cujo lado mede [tex]\text{l}[/tex].
Traçando sua altura [tex]\text{h}[/tex], obtemos dois triângulos retângulos congruentes, tais que:
Cateto maior: Altura
Cateto menor: Metade do lado
Hipotenusa: Lado
Conforme o Teorema de pitágoras, podemos afirmar que:
[tex]\text{l}^2=\text{h}^2+\left(\dfrac{\text{l}}{2}\right)^2[/tex]
Donde, obtemos:
[tex]\text{h}^2=\text{l}^2-\dfrac{\text{l}}{4}[/tex]
[tex]\text{h}^2=\dfrac{3\text{l}^2}{4}[/tex]
[tex]\text{h}=\sqrt{\dfrac{3\text{l}^2}{4}}=\dfrac{\text{l}\sqrt{3}}{2}[/tex]
Feito isso, considere um dos triângulos retângulos obtidos.
Observe que:
[tex]\text{sen}~\alpha=\dfrac{\texttt{Cateto oposto}}{\texttt{Hipotenusa}}[/tex]
Note que:
[tex]\texttt{Cateto oposto}=\dfrac{\text{l}}{2}[/tex]
[tex]\texttt{Hipotenusa}=\text{l}[/tex]
Desta maneira, podemos afirmar que:
[tex]\text{sen}~30^{\circ}=\dfrac{\frac{\text{l}}{2}}{\text{l}}[/tex]
[tex]\text{sen}~30^{\circ}=\dfrac{\text{l}}{2}\cdot\dfrac{1}{\text{l}}[/tex]
Logo, chegamos à conclusão de que:
[tex]\text{sen}~30^{\circ}=\dfrac{1}{2}[/tex]
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[tex]\sf arc~sen\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)=\theta\implies sen(\theta)=\dfrac{1}{2}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf \theta=\dfrac{\pi}{6}}}}}\checkmark[/tex]
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