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Resposta:
Para resolver a equação exponencial 22x + 1 – 2x + 4 = 2x + 2 – 32, começaremos separando as potências que apresentam somas no expoente, escrevendo-as como produto de potências.
22x + 1 – 2x + 4 = 2x + 2 – 32
2x · 2x · 21 – 2x · 24 = 2x · 22 – 32
Façamos 2x= y:
y · y · 21 – y · 24 = y · 22 – 32
y2 · 21 – y · 16 = y · 4 – 32
2y2 – 16y – 4y + 32 = 0
2y2 – 20y + 32 = 0
Chegamos a uma equação do 2° grau, que pode ser resolvida fórmula de Bhaskara. A fim de trabalhar com números menores, podemos dividir toda a equação por 2, sem prejuízo no resultado final.
y2 – 10y + 16 = 0
Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 10)² – 4.1.16
Δ = 100 – 64
Δ = 36
y = – b ± √Δ
2.a
y = – (– 10) ± √36
2.1
y = 10 ± 6
2
y1 = 10 + 6
2
y1 = 16
2
y1 = 8
y2 = 10 – 6
2
y2 = 4
2
y2 = 2
Agora que encontramos os possíveis valores de y, podemos resolver a equação exponencial que criamos no início do exercício:
Para y1 = 8
2x = y
2x = 8
2x = 23
x1 = 3
Para y2 = 2
2x = y
2x = 2
2x = 21
x2 = 1
O enunciado pediu a soma das raízes da equação exponencial. Como as raízes são x1 = 3 e x2 = 1, então a soma é x1 + x2 = 3 + 1 = 4. Portanto, a alternativa correta é a letra c.