- Interessante exercício de funções. Vamos a ver:
Considere um retângulo de perímetro igual a 36 cm e um dos lados de medida x cm.
a) Escreva a lei de uma função A(x) que permite determinar a medida da área do retângulo em função da medida x.
Primeiro sabemos que o perímetro de um retângulo é calculado assim:
[tex]\qquad \qquad \rm P= 2*(x+l)\begin{cases} \tt P: Perimetro \\ \tt x:comprimento\\ \tt l: largura \end{cases}[/tex]
Se tentarmos resolver esta fórmula com os dados fornecidos pelo problema, obtemos:
[tex]\rm 36 = 2*(x+l)\\ \\ \rm \dfrac{36}{2} =x+l\\ \\ \rm 18=x+l[/tex]
- Agora, a área de um retângulo é calculada usando a seguinte expressão:
[tex] \rm A = l*x[/tex]
Mas como não saberemos quanto vale o largura do retângulo ou "x" e tentamos resolver a fórmula para o perímetro, você obtém:
[tex]\qquad \qquad \rm l= 18-x[/tex]
- Substituindo na equação pela área do retângulo, temos:
[tex] \qquad \qquad \rm A = (18-x)*x[/tex]
[tex] \qquad \qquad \rm A(x) =18x-x^2 [/tex]
Essa seria a função do primeiro problema, agora vamos ver o seguinte:
O gráfico da função A(x) tem concavidade voltada para cima ou para baixo?
Para calcular a concavidade da função devemos derivar duas vezes e se for maior que 0 é para cima e se for menor que 0 é para baixo. Nós derivamos:
[tex] \qquad \qquad \rm A'(x)= 18-2x[/tex]
[tex] \qquad \qquad \rm A''(x)= -2[/tex]
Portanto, a concavidade da função está baixa porque é menor que 0. O gráfico é uma demonstração da concavidade da função (se você está fazendo uma cara triste, a concavidade está para baixo ∩)
Seguinte pergunta:
- Qual é a área máxima que esse retângulo pode ter?
Para calcular a área máxima do retângulo, usaremos a seguinte expressão:
[tex] \qquad \qquad \rm Y_v= - \dfrac{\Delta}{4a}[/tex]
- Mas Δ podemos calculá-lo da seguinte maneira:
[tex] \qquad \qquad \rm \Delta =b^2 -4ac[/tex]
Se analisarmos a função "a" é igual a -1, "b" é igual a 18 e "c" é 0 porque não existe em nossa função:
[tex] \qquad \qquad \rm \Delta =18^2 -4(-1)(0)[/tex]
[tex] \qquad \qquad \rm \Delta =324[/tex]
- Agora calculamos a área máxima do retângulo:
[tex] \qquad \qquad \rm Y_vv= - \dfrac{324}{4(-1)}[/tex]
[tex] \qquad \qquad \rm Y_v= - \dfrac{324}{-4}[/tex]
[tex] \qquad \qquad \rm Y_v=81\ m^2 [/tex]
Último problema: Nessas circunstâncias, quais as dimensões do retângulo?
Usamos a seguinte expressão para dimensões nessa circunstância:
[tex]\qquad \qquad \rm X_v=-\dfrac{b}{2a}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \rm X_v=-\dfrac{18}{2(-1)}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \rm X_v=-\dfrac{18}{-2}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \rm X_v=9\ m[/tex]
- A compressão nesse caso deve ser igual a 9 metros
https://brainly.com.br/tarefa/8054063
