Olá Vestibulanda!
Isolemos "x" na equação:
[tex]x + y = \frac{\pi}{3} \\\\ \boxed{x = \frac{\pi}{3} - y}[/tex]
Agora, podemos substituí-lo em cos (3x - 3y), veja:
[tex]\cos (3x - 3y) = \\ \cos \left [3 \times \left ( \frac{\pi}{3} - y \right ) - 3y \right ] = \\\\ \cos \left ( \pi - 3y - 3y \right ) = \\ \cos \left ( \pi - 6y \right ) = \\\\ \text{sabendo que:} \;\; \cos (a - b) = \cos a \times \cos b + \sin a \times \sin b \;\;\; \text{temos:} \\\\ \cos \pi \times \cos (6y) + \sin \pi \times \sin (6y) = \\ - 1 \times \cos (6y) + 0 \times \sin (6y) = \\ \boxed{- \cos (6y)}[/tex]
Seguindo o mesmo raciocínio, só que agora, devemos isolar "y":
[tex]x + y = \frac{\pi}{3} \\\\ \boxed{y = \frac{\pi}{3} - x}[/tex]
Substituindo em cos (3x - 3y):
[tex]\cos (3x - 3y) = \\ \cos \left [3x - 3 \times \left ( \frac{\pi}{3} - x \right ) \right ] = \\\\ \cos \left (3x - \pi + 3x \right ) = \\ \cos \left (6x - \pi \right ) = \\\\ \text{lembrando que:} \;\; \cos (a - b) = \cos a \times \cos b + \sin a \times \sin b \;\;\; \text{temos:} \\\\ \cos (6x) \times \cos (\pi) + \sin (6x) \times \sin (\pi) = \\ \cos (6x) \times - 1 + \sin (6x) \times 0 = \\ \boxed{- \cos (6x)}[/tex]
Igualando...
[tex]- \cos (6x) = - \cos (6y) \\ - \cos(6x + 2k'\pi) = - \cos(6y + 2k''\pi) \;\;\;\;\; k', k'' \in \mathbb{Z} \\ 6x + 2k'\pi = 6y + 2k''\pi \;\;\; \div(2 \\ 3x - 3y = k''\pi - k'\pi \\ 3x - 3y = (k'' - k')\pi[/tex]
Com efeito, [tex]\cos (3x - 3y) = \cos [(k'' - k')\pi][/tex]
Logo,
[tex]\cos(3x - 3y) = \begin{cases} 1, \ \text{se} \; (k'' - k') \; \acute{e} \; \text{par}; \\ - 1, \ \text{se} \; (k'' - k') \; \acute{e} \; \text{impar}. \end{cases}[/tex]
