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Resposta:
A) A economia de custos operacionais que a compra do equipamento irá resultar nos 4 primeiros anos é de R$ 9.000,00.
B) O equipamento estará pago após aproximadamente 8,12 anos.
Explicação passo a passo:
A) Calculando a integral indefinida da função f(x):
[tex]\int{(1000*x+250)} \, dx = 500*x^2 + 250*x + C[/tex]
Assim a integral definida pode ser calculada:
[500*4^2 + 250*4 + C] - [1000*0 + 250*0 + C]
= 500*16 + 1000 + C - C
= 8000 + 1000 = 9000
B) Para que o equipamento esteja pago, a economia obtida deverá se igualar ao custo do equipamento. Como sabemos que a economia obtida em x=0 é zero, podemos considerar C = 0. Então precisamos resolver a equação abaixo:
500*x^2 + 250*x = 35.000
Dividindo a equação por 250:
2*x^2 + x = 140
2*x^2 + x - 140 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = (-1 +/- raiz(1 + 1120))/4
x = (-1 +/- raiz(1121))/4
x = (-1 +/- 33,48) / 4
As soluções são:
x = -34,48/4
ou
x = 32,48/4
A solução negativa não faz sentido, então:
x = 8,12 anos