[tex]25^{40} \times 16^{21} = \\\\ (5^2)^{40} \times (2^4)^{21} = \\\\ 5^{80} \times 2^{84} = \\\\ 5^{80} \times 2^{80} \times 2^4 = \\\\ (5 \times 2)^{80} \times 16 = \\\\ 10^{80} \times 16 = \\\\ 1.6\underbrace{00.000...000.000}_{80 \; \text{zeros}} = \\\\ 1 + 6 + \underbrace{0 + 0 + ... + 0 + 0}_{80 \; \text{zeros}} \\\\ \boxed{\boxed{7}}[/tex]
E, se fosse para calcular a quantidade de algarismos?
Quantos algarismos tem o número 10^{80}. Acompanhe o raciocínio abaixo:
10¹ = 10 ============> tem-se 2 algarismos;
10² = 100 ===========> tem-se 3 algarismos;
10³ = 1000 ==========> tem-se 4 algs;
(...)
10^{80} = 100...000 ====> tem-se 81 algs.
Percebeu que na base 10, é só somar uma unidade ao expoente para obter a quantidade de algs.?
Última parte:
10 x 16 = 160 ==============> 3 algs;
100 x 16 = 1600 ============> 4 algs;
1000 x 16 = 16000 ==========> 5 algs.
...
10^{80} x 16 = 16000...0000 ===> 82 algs.
10¹ tem 2 als. e 16 também tem dois, totalizando 4 algs., então fazemos 4 - 1 = 3;
10² tem 3 als. e 16 tem dois, totalizando 5 algs., então fazemos 5 - 1 = 4;
10³ tem 4 als. e 16 tem dois, totalizando 6 algs., então fazemos 6 - 1 = 5;
...
10^{80} tem 81 algs. e 16 tem dois, totalizando 83 algs., então fazemos:
[tex]83 - 1 = \\ \boxed{\boxed{82 \; \text{algarismos}}}[/tex]
