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Sagot :
"Vetores colineares" significa que ambos os vetores estão totalmente sobre a mesma reta, ou seja, o ângulo entre eles será 0º ou 180º.
Como estão em sentidos contrários, então o ângulo entre eles é 180º
Aplicando o produto escalar:
(u . v) = ||u||*||v||*cos(180º)
(u . v) = 4 * 4 * (-1)
(u . v) = -16
Bons estudos!
✅ Após ter realizando a análise e ter feito os cálculos, concluímos que o valor do produto escalar entre os vetores é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v} = -4 \end{gathered}$}[/tex]
Se os vetores dados são:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{u}\:\:\:e\:\:\:\vec{v} \end{gathered}$}[/tex]
E o produto entre seus módulos é "4", isto é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\| = 4 \end{gathered}$}[/tex]
Para calcular o produto escalar entre os vetores poderemos utilizar a seguinte fórmula:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot cos\:\theta \end{gathered}$}[/tex]
Como o ângulo entre dois vetores é sempre maior ou igual a "0" e menor ou igual a "180°", ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}0 \le ang(\vec{u}, \vec{v}) \le180^{\circ} \end{gathered}$}[/tex]
E, sabendo que dois vetores são colineares quando estão contidos na mesma reta suporte. Então, se ambos possuem sentido contrário em relação ao outro, significa dizer que o ângulo entre eles será um ângulo razo ou seja, a medida é 180°, então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\theta = ang(\vec{u}, \vec{v}) = 180^{\circ} \end{gathered}$}[/tex]
Então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}Se\:\theta = 180^{\circ}\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:cos\:\theta = -1 \end{gathered}$}[/tex]
Calculando o produto escalar - produto interno euclidiano - entre os referidos vetores, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot cos\:\theta \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 4\cdot(-1) \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= -4 \end{gathered}$}[/tex]
Portanto, o produto escalar:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v} = -4 \end{gathered}$}[/tex]
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