Resposta:
1 ) ( AB. AC ) = 18
2 ) 37,9 º ( gráfico anexo 1 )
3 )
Explicação passo a passo:
1 )
vetor AB = B - A = ( 1 ; - 1 ) - ( - 1 ; 2 ) = ( 1 - ( - 1 ) ; ( - 1 - 2 ) = ( 2 ; - 3 )
vetor AC = C - A = ( 5,0 ) - ( -1 ; 2 ) = ( 5 - (- 1 ) ; ( 0 - 2 ) ) = (6 ; - 2 )
Produto escalar AB . BC = ( 2 ; - 3 ) * ( 6 ; - 2 ) = 12 + 6 = 18
2 )
Produto escalar é através da fórmula:
(vetor a) . (vetor b) = || a || . || b || * cos( ângulo entre "vetor a" e "vetor b" )
Observação → Norma de um vetor genérico AB ( a ; b )
[tex]|| AB || =\sqrt{a^2+b^2}[/tex]
[tex]|| AB || = \sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9} =\sqrt{13}[/tex]
[tex]|| AC || =\sqrt{6^2+(-2)^2} =\sqrt{36+4} =\sqrt{40}[/tex]
Aplicando a fórmula
(vetor a) . (vetor b) = || a || . || b || * cos( ângulo entre "vetor a" e "vetor b" )
[tex]18=\sqrt{13} *\sqrt{40} *cos(angulo...AB...AC)[/tex]
[tex]18=\sqrt{13*40} *cos(angulo...AB...AC)[/tex]
[tex]18=\sqrt{520} *cos(angulo...AB...AC)[/tex]
[tex]cos(angulo...AB...AC)=\dfrac{18}{\sqrt{520} }[/tex]
[tex]cos(angulo...AB...AC)=0,789[/tex]
Usamos a função em que se calcula o " arco cujo cosseno é 0,789 ".
Função inversa de cosseno.
[tex]arc(cos) (0.789)=?[/tex]
[tex]arc(cos) (0.789)=37,9[/tex]
3 )
Amplitude ângulo ABC = formado pelos vetores AB e BC
vetor AB = ( 2 ; - 3 )
Vetor BC = C - B = ( 5 ; 0 ) - ( 1 ; - 1 ) = ( ( 5 - 1 ) ; ( 0 - ( -1 )) = ( 4 ; 1 )
[tex]|| AB || =\sqrt{13}[/tex]
[tex]|| BC || =\sqrt{4^2+1^2} =\sqrt{17}[/tex]
AB . BC = ( 2 ; - 3 ) . ( 4 ; 1 ) = ( 2* 4 + (- 3 * 1) ) = 8 - 3 = 5
Aplicando a fórmula
(vetor a) . (vetor b) = || a || . || b || * cos( ângulo entre "vetor a" e "vetor b" )
[tex]5=\sqrt{13} *\sqrt{17} *cos(angulo...AB ....BC )[/tex]
[tex]cos(angulo...AB ....BC )=\dfrac{5}{\sqrt{221} }[/tex]
[tex]cos(angulo...AB ....BC )=0,336[/tex]
[tex](arc(cos) (0.336))=?[/tex]
[tex](arc(cos) (0.336))=70,36[/tex]
∡ ABC = 70 º ( aproximação às unidades )
Bons estudos.
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( * ) multiplicação ( . ) produto escalar de dois vetores
|| || norma de um vetor
