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Inicialmente devemos lembrar como é o processo para se obter a expressão [tex] \sf 1 + tan^2(x) = sec^2(x)[/tex]. Primeiro vamos escrever a relação fundamental da trigonometria:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \sf sen {}^{2} (x) + cos {}^{2} (x) = 1 \: \bullet [/tex]
Inicialmente para obter aquela expressão, dividimos todos os termos dessa relação por [tex]\sf cos^2(x) [/tex]:
[tex] \: \: \: \:\sf \frac{sen {}^{2} (x)}{cos {}^{2} (x)} + \frac{cos {}^{2} (x)}{cos{}^{2}(x) } = \frac{1}{cos {}^{2}(x) } \\ \\ \sf \: \: \: \: 1 + \left( \frac{sen(x)}{cos(x)} \right) {}^{2} = \left( \frac{1}{cos(x)} \right) {}^{2} [/tex]
Como sabemos pela trigonometria:
[tex] \sf \frac{sen(x)}{cos(x)} = tan(x) \: \: e \: \: \frac{1}{cos(x)} = sec(x) \\ [/tex]
Substituindo essa informação, temos:
[tex] \: \: \: \: \: \: \boxed{ \bullet \: \sf 1 + tan {}^{2} (x) = sec {}^{2} (x) \: \bullet}[/tex]
Chegamos então a expressão dada na questão. Usando esta lógica vamos fazer a mesma coisa só que desta vez vamos dividir tudo por [tex]\sf cos(x) [/tex]:
[tex] \: \: \: \:\sf \frac{sen {}^{2} (x)}{cos (x)} + \frac{cos {}^{2} (x)}{cos(x) } = \frac{1}{cos (x) } \\ \\ \sf \: \: \: \: \left[ \frac{sen {}^{2}(x) }{cos(x)} + cos(x) = sec(x) \right ] \: . \: cos(x)\\ \\ \boxed{\sf sen {}^{2}(x). cos(x) + cos {}^{2} (x) = sec(x).cos(x)}[/tex]
Fazendo o mesmo passo a passo, não chegamos a obter o resultado esperado, que era [tex] \sf 1 + tan(x) = sec(x)[/tex]. Portanto: