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Sagot :
Resposta:
As outras raízes são " - 1 " e " 3 "
Explicação passo a passo:
Existem vários métodos para resolver.
Vou utilizar um que creio ter menos cálculos.
Observação 1 → Polinómio completo do 4º grau
[tex]P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e[/tex]
com a ; b ; c ; d ; e ∈ |R e a ≠ 0
Um polinómio, com "n" raízes pode ser decomposto na seguinte
expressão:
a * ( x - R1 ) * ( x- R2 ) * ( x- R3 ) * ... * (x - Rn)
Este é um polinómio do 4º grau e o coeficiente a = 1
Sabendo que temos duas raízes " 2i " e " - 2i " ficamos a saber parte da
organização do polinómio
P(x) = 1 * ( x - ( - 2i ) ) * ( x- 2i ) * ( x- R3 ) * (x - R4)
Fazendo os cálculos possíveis:
P(x) = ( x + 2i ) * ( x - 2i) * ( x- R3 ) * (x - R4)
Cálculos auxiliares
( x + 2i ) * ( x - 2i)
Trata-se de um Produto Notável " A diferença de dois quadrados "
Observação 2 → Diferença de dois quadrados
É do tipo : a² - b²
Tem o seguinte desenvolvimento:
a² - b² = ( a + b ) * ( a - b )
Mas reparem que se num exercício tiverem:
( a + b ) * ( a - b )
é necessário saber que é igual a a² - b²
Que é o que vai ser utilizado agora :
( x + 2i ) * ( x - 2i)
= x² - ( 2i )²
= x² - 2² * i²
= x² - 4 * ( - 1 )
= x² + 4
Fim de cálculos auxiliares
Observação 3 → Qual o valor da unidade imaginário " i " ?
[tex]i = \sqrt{-1}[/tex]
Donde
[tex]i^2=(\sqrt{-1} )^2=-1[/tex]
Observação 4 → O que é o Algoritmo da Divisão ?
O algoritmo utilizado no Brasil para realizar a divisão é conhecido como
“método da chave”.
Dividendo | divisor
Resto Quociente
Observação 5 → Lei fundamental do divisão
Dividendo = divisor * quociente + resto
Exemplo:
[tex]x^4 - 2x^3 + x^2 -8x-12[/tex] = ( x² + 4 ) * ( x² - 2x -3 ) + zero
Usando algoritmo da divisão vou dividir o polinómio inicial por ( x² + 4 )
[tex]x^4[/tex] [tex]-2x^3[/tex] [tex]+x^2[/tex] [tex]- 8x[/tex] [tex]-12[/tex] | x² + 4
[tex]-x^4[/tex] - 4x² x² - 2x -3
0 - 2x³ - 3 x² - 8x - 12
2x³ + 8x
0 - 3 x² 0 - 12
3 x² 12
0 0
O facto do resto dar zero, significa que que o polinómio dado é divisível
por ( x² + 4 ).
Confirma que a decomposição do polinómio está correta
Assim o polinómio decompõe-se em:
P (x) = ( x² - 2x -3 ) * ( x² + 4 )
Falta encontrar as raízes de x² - 2x -3 ( polinómio do 2º grau )
Usando a Fórmula de Bhaskara
x = ( - b ± √Δ ) / 2a Δ = b² - 4 * a* c a ≠ 0
x² - 2x -3 = 0
a = 1
b = - 2
c = - 3
Δ = ( - 2 )² - 4 * 1 * ( - 3 ) = 4 + 12 = 16
√Δ = √16 = 4
x1 = ( - ( - 2 ) + 4 ) / (2 * 1 )
x1 = ( 2 + 4 ) /2
x1 = 6/2
x1 = 3
x2 = ( - ( - 2 ) - 4 ) / (2 * 1 )
x2 = ( + 2 - 4 ) / 2
x2 = - 2/2
x2 = - 1
As outras raízes são " - 1 " e " 3 "
Observação 6 → Sinal "menos" antes de parêntesis
Quando assim acontece, os valores dentro do parêntesis, quando saem,
mudam seu sinal.
Exemplo:
- ( - 2 ) = + 2
Observação 7 → Outro método de Resolução
Seria usar consecutivamente o dispositivo Briot / Ruffini , para cada uma
das raízes dadas.
A quantidade de cálculos aqui, onde haveria lugar a multiplicações em
que os fatores seriam números onde entraria o " i ", seria mais trabalhosa
e passível de erros mais facilmente.
Daí a opção pelo algoritmo da divisão.
Bons estudos
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( * ) multiplicação ( / ) divisão ( ∈ ) pertence a
( ≠ ) diferente de
( R1 ; R2; R3 ; R4 ; ... Rn ) são nomes atribuídos a raízes de polinómios
Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução,
para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em
casos idênticos.
O que eu sei, eu ensino
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