Temos que:
[tex]f(1) = 3 \: \: \: e \: \: \: \int \limits_{0}^{1} f(t)dt = 4 \\ [/tex]
Para iniciar o cálculo, vamos primeiro derivar a função que representa g(x).
[tex]g(x ) = (G(x)) {}^{2} \: \: \to \: \: \frac{d}{dx} g(x) = \frac{d}{dx}((G(x)) {}^{2} \\ [/tex]
Note que para derivar a expressão após a igualdade é necessário ultilizar a regra da cadeia.
[tex] \: \: 1) \: \: \: \frac{d}{dx} g(x ) = 2.G(x). \frac{d}{dx} G(x) \\ [/tex]
Vamos deixar essa expressão reservada. Pelo cálculo feito anteriormente, é possível observar que é necessário do valor da derivada de G(x), mas sabemos que:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: G(x) = \int \limits_{0}^{x} f(t)dt \\ [/tex]
Derivando a expressão acima, obtemos:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{d}{dx} G(x) = \frac{d}{dx} \int \limits_{0}^{x} f(t)dt \\ [/tex]
A derivada da integral definida é basicamente a aplicação dos limites de integração na função multiplicado pela derivada de ambos.
[tex] \boxed{\frac{d}{dx} \int \limits_{g(x)}^{h(x)} f(t)dt = f(h(x)). \frac{d}{dx} h(x) - f(g(x)). \frac{d}{dx}g(x)} [/tex]
Aplicando a ideia deste Teorema no nosso problema, temos que:
[tex] \frac{d}{dx} G(x) = f(x). \frac{d}{dx} x - \cancel{f(0). \frac{d}{dx}0 }\\ \\ \frac{d}{dx} G(x) = f(x)[/tex]
Substituindo na relação que deixamos reservada:
[tex] \: \: \: \: \: \: 2) \: \frac{d}{dx} g(x) = 2.G(x).f(x) \\ [/tex]
A pergunta da questão é para determinamos o valor de g'(1), substituindo a informação, isto é, que o valor de x é 1, ficamos com:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{d}{dx} g(1) = 2.G(1).f(1) \\ [/tex]
O valor de f(1) é conhecido, mas G(1) não, mas para descobrir basta substituir x = 1 na expressão dada no enunciado para a função G(x).
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: G(1) = \int \limits_{0}^{1} f(t)dt \\ [/tex]
Ainda no enunciado o valor da integral no segundo membro é fornecido, então:
[tex]G(1) = \int \limits_{0}^{1} f(t)dt \: \: \to \: \: G(1) = 4 \\ [/tex]
Por fim, basta substituir todas as informações requeridas na expressão montada.
[tex] \frac{d}{dx} g(1) = 2.4.3 \: \: \to \: \: \boxed{\frac{d}{dx} g(1) = 24 }\\ [/tex]
Espero ter ajudado
