Por meio dos cálculos realizados, conseguimos chegar a conclusão de que a fatoração desta função que representa a altura, é: [tex]\boxed{\bf h(t) = -16(t-1)^2 + 128}[/tex].
Explicação
Temos a seguinte função:
[tex] \: \:\:\:\: \: \: \:\:\:\:\:\: h(t) = - 16t {}^{2} + 32t + 112[/tex]
O objetivo da questão é basicamente fatorarmos esta expressão acima.
- Trinômio quadrado perfeito:
Para analisar se a expressão corresponde a um trinômio quadrado perfeito, basta ver se os números das extremidades possuem raiz exata.
[tex]h(t) = -1.(16t^2-32t-112)\to\begin{cases}\bf \sqrt{16} = 4 \\ \bf\sqrt{-112} = \nexists \in\mathbb{R}\end{cases}[/tex]
- Observe que a raiz do número 12 resultou em um número que não é real, ou seja, não exato.
Quando um número não é um T.Q.P (Trinômio quadrado perfeito), não temos a capacidade de fatorar a expressão no formato [tex]\bf (a+b)^n [/tex], portanto temos que buscar uma outra forma.
- Identidade de Sophie-Germain:
A identidade de Sophie, é basicamente o método da soma zero, ou seja, podemos acrescentar termos a expressão para que a fatoração seja possível, mas ao mesmo tempo devemos subtrair para que a expressão não seja modificada.
- Primeiro vamos fatorar a expressão pelos métodos convencionais.
[tex]\begin{cases}h(t) = - 16.t.t + 32t + 112 \\ h(t) = - 16t {}^{2} + 16.2t + 16.7 \\ h(t) = - 16.(t {}^{2} - 2t - 7) \end{cases} [/tex]
O termo que está dentro do parêntese é muito semelhante a um produto notável conhecido como o quadrado da diferença, sendo dado por:
[tex] \:\:\:\:\: \: \:\:\:\:\: \: \: \: \boxed{\bf(a - b) ^{2} = a {}^{2} - 2ab + b {}^{2}} [/tex]
- Sendo esta expressão acima um T.Q.P, ou seja, as extremidades possuem raízes exatas.
Portanto, vamos tornar o número -7 possível de raiz exata, para isso basta fazer uma pequena modificação, isto é, encontrar uma soma através da soma zero, que tenha resultado -7.
[tex]\begin{cases}h(t) = - 16(t {}^{2} - 2t - 7 + 8 - 8) \\h(t) = - 16(t {}^{2} - 2t + 1 - 8)\end{cases}[/tex]
Agora podemos fatorar esta expressão dentro do parêntese, uma vez que [tex]\boxed{\bf (t-1)^2 = t^2 - 2t+1}[/tex]. Logo:
[tex]\begin{cases}h(t) = - 16((t - 1) {}^{2} - 8) \: \\h(t) = - 16(t - 1) {}^{2} + 128\end{cases}[/tex]
Espero ter ajudado.
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