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Sagot :
Olá Lorena, para resolver este problema de otimização, devemos primeiro saber o que é otimização:
- A otimização é a seleção do melhor elemento de um conjunto de elementos disponíveis.
Problema:
Uma empresa que fabrica e vende leite condensado enlatado deseja fazer uma nova embalagem. Eles querem fazer uma lata metálica no formato cilíndrico. Para produzir cada lata eles desejam gastar o valor fixo de 288 cm² de aço. Quais devem ser as dimensões da lata cilíndrica (raio e altura) para que, nessa condição, a quantidade de leite condensado em cada lata seja máxima?
Resolução:
Se quisermos encontrar o raio e a altura do cilindro para que o volume seja máximo, devemos encontrar a função de uma dessas variáveis em relação ao volume.
.
Mas antes de encontrar a função de qualquer uma dessas variáveis devemos encontrar a equação que descreve a área total do cilindro (valor fixo) para isso devemos usar a fórmula:
[tex]\large \sf A_T = A_L + A_B [/tex]
Isso significa que a área total é igual à área lateral mais a área da base. Se quisermos encontrar a equação que descreve cada variável, devemos analisar um pouco o problema.
O problema nunca menciona se o cilindro tem tampa ou não, pois não diz isso, digamos que na realidade tem tampa, se desmontarmos o cilindro em figuras geométricas 2D obteremos um retângulo de área igual:
[tex]\large \sf A_L = 2\pi rh[/tex]
Agora a área da base é igual à área da pálpebra superior e a área da pálpebra inferior, as pálpebras estão em forma de círculos, então a área da base é igual à fórmula:
[tex]\large \sf A_B = 2\pi r^2 [/tex]
- Então a área total é igual à equação:
[tex]\large \sf A_T = 2\pi rh+ 2\pi r^2 [/tex]
- Sabendo que a área total é igual a 288 cm² então altura é igual à equação:
[tex]\large \sf 288\ cm^2= 2\pi rh+ 2\pi r^2 [/tex]
[tex]\large \sf 288-2\pi r^2= 2\pi rh [/tex]
[tex]\large \sf \dfrac{288-2\pi r^2}{2\pi r}= h[/tex]
[tex]\large \sf \dfrac{288}{2\pi r} -\dfrac{2\pi r^2}{2\pi r} = h[/tex]
[tex]\large \sf \dfrac{144}{\pi r} -r = h[/tex]
Essa expressão de altura deve ser substituída na equação para o volume de um cilindro, o volume de um cilindro é igual a:
[tex]\large \sf V =\pi r^2 h [/tex]
- Substituímos a altura para nossa equação:
[tex]\large \sf V =\pi r^2 \left(\dfrac{144}{\pi r}-r\right)[/tex]
- Vemos que nossa expressão poderia ser reduzida:
[tex]\large \sf V =\cancel{\pi r^2 }\left(\dfrac{144}{\cancel{\pi r}}-r\right)[/tex]
[tex]\large \sf V =144 \ r- \pi r^3[/tex]
Esta equação é uma função primordial que depende do valor da radio. Se quisermos encontrar o valor do raio, devemos usar a derivada completamente.
[tex]\large \sf V(r) =144 \ r- \pi r^3[/tex]
Se derivarmos a função pela primeira vez, obtemos a função:
[tex]\large \sf V'(r) =144 \ r^{1-1}- 3\pi r^{3-1}[/tex]
[tex]\large \sf V'(r) =144 \ r^{0}- 3\pi r^{2}[/tex]
[tex]\large \sf V'(r) =144 - 3\pi r^{2}[/tex]
Agora, para encontrar o valor do raio com a segunda derivada de nossa função, devemos escrever essa derivada como uma equação que é igual a 0. Se fizermos isso, obteremos a equação:
[tex]\large \sf 144 - 3\pi r^{2}=0[/tex]
Resolvendo a equação passo a passo obtemos o valor do raio:
[tex]\large \sf - 3\pi r^{2}=-144[/tex]
[tex]\large \sf r^{2}=\dfrac{-144}{-3\pi} [/tex]
[tex]\large \sf r^{2}=\dfrac{48}{\pi} [/tex]
[tex]\large \sf r=\sqrt{\dfrac{48}{\pi} }[/tex]
[tex]\large \sf r\approx \pm 3.90 \ cm\approx \pm 4\ cm[/tex]
Se este valor do raio pertence à medida máxima, devemos derivar a função uma segunda vez e se obtivermos um resultado negativo, o valor é máximo e se for positivo, o valor é mínimo:
[tex]\large \sf V''(r) =- 6\pi r^{2-1}[/tex]
[tex]\large \sf V''(r)= - 6\pi r[/tex]
- Substituímos o valor do raio nesta função e obtemos:
[tex]\large \sf \begin{cases}\sf \large V''(4)= - 6\pi \cdot 4\ cm\approx -75.39 \ max \\ \sf \large V''(-4)= -6\pi \cdot- 4 \ cm \approx 75.39\ min \end{cases}[/tex]
O valor positivo do raio seria a medida máxima e se quisermos encontrar o valor da altura máxima só substituímos na expressão da altura:
[tex]\large \sf \dfrac{144}{\pi \cdot 4 \ cm} -4\ cm = h[/tex]
[tex]\large \sf 11.45\ cm-4\ cm = h[/tex]
[tex]\large \sf 7.45\ cm= h[/tex]
As medidas são iguais a 7,45 cm e 4 cm.
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