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Sagot :
Resposta:
Olá boa noite!
Considere "r" a reta escrita na forma geral:
r: 2x + 3y +4 = 0
A equação dessa reta na forma reduzida será:
3y = -2x - 4
y = (-2/3)x - 4/3
Precisamos agora calcular a equação da reta "s" que passa (2,1) e que é perpendicular a "r".
A forma geral da equação da reta é:
Y - Yo = [tex]m_s[/tex] (X - Xo)
onde:
Xo = 2 ;
Yo = 1 ;
[tex]m_s[/tex] é o coeficiente angular da reta "s" obtido por:
[tex]m_s=-1/m_r[/tex]
[tex]m_s =[/tex] 3/2
y - 1 = (3/2) (x - 2)
y - 1 = (3/2)x - 3
2y - 2 = 3x - 6
A reta s na forma geral será:
s: 3x - 2y - 4
Ora, se "r" e "s" são perpendiculares, a reta que passa por (2,1) e forma 45° com essas duas retas é a bissetriz dessas duas retas.
Para determinarmos a reta bissetriz "t" das retas "r" e "s" usamos:
[tex][A(r)x + B(r)y + C(r)] /[/tex] [tex]\sqrt{A^2_r+B^2_r}[/tex] = [tex][A(s)x + B(s)y + C(s)] /\sqrt{A^2_s+B^2_s}[/tex]
Onde A, B e C são os respectivos coeficientes das retas nas suas formas gerais.
[(2x + 3y+ 4)] / [tex]\sqrt{2^2 + 3^2}[/tex] = [3x -2y - 4] / [tex]\sqrt{(3)^2+2^2}[/tex]
Os denominadores são iguais, portanto podem ser cancelados.
Então:
2x + 3y+ 4 = 3x -2y - 4
3x - 2x - 3y -2y - 4 - 4 = 0
x - 5y - 8 = 0
Na forma reduzida:
-5y = -x + 8
5y = x - 8
y = x/5 - 8
E, finalmente, a reta paralela a "t" que passa por (2,1) será:
y - 1 = 1/5 (x - 2)
y - 1 = 1/5x - 2/5
1/5x - y + 1 - 2/5 = 0
x - 5y + 5 - 2 = 0
x - 5y + 3 = 0
Alternativa D
De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que a reta que passa pelo ponto (2,1) é: [tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x -5y + 3 = 0 } $ }[/tex] e tendo alternativa correta a letra D.
Se duas retas r e s, não verticais, de coeficientes angulares respectivamente a [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf m_r $ }[/tex] e [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf m_s $ }[/tex]ângulo agudo de medida [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf \theta $ }[/tex], então:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \tan{\theta } = \left | \dfrac{m_r - m_s}{1 + m_r \cdot m_s} \right | } $ }[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf P \: (\:2,1\:) \\ \sf s: 2x +3y+4 = 0 \end{cases} } $ }[/tex]
Determinar coeficiente de [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf m_s $ }[/tex]:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{2x + 3y + 4 = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3y = - 2x - 4 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{y = -\:\dfrac{2x}{3} -\: \dfrac{4}{3} } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_s = -\: \dfrac{2}{3} }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \tan{\theta } = \left | \dfrac{m_r - m_s}{1 + m_r \cdot m_s} \right | } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \tan{45^\circ } = \left | \dfrac{m_r + 2/3}{1 - m_r \cdot 2/3} \right | } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{1 = \left | \dfrac{m_r + 2/3}{1 - m_r \cdot 2/3} \right | } $ }[/tex]
O probelma admite duas soluções.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{m_r + 2/3}{1- \dfrac{2m_r}{3} } = \pm 1 } $ }[/tex]
Primeira solução
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{m_r + 2/3}{1- \dfrac{2m_r}{3} } = 1 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ m_r + \dfrac{2}{3} = 1 - \dfrac{2}{3}\: m_r \times (3) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3 m_r + 2 = 3 -2m_r } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{3m_r + 2m_r = 3 - 2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 5m_r = 1 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_r = \dfrac{1}{5} }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y - y_0 = m_r( x - x_0) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y -1 = \dfrac{1}{5} \cdot ( x - 2) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{5 y -5 = x - 2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x - 2 =5y - 5 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x -5y - 2 +5 = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x -5y + 3 = 0 }[/tex]
Segunda solução
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{m_r + 2/3}{1- \dfrac{2m_r}{3} } = -1 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ m_r + \dfrac{2}{3} = -1 + \dfrac{2}{3}\: m_r \times (3) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3 m_r + 2 = -3 +2m_r } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{3m_r - 2m_r = -3 - 2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_r = -\: 5 }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y - y_0 = m_r \cdot ( x - x_0) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y -1= - 5 \cdot ( x - 2) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y - 1 = -5x +10 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{5x + y -1 - 10 = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf 5x + y - 11 = 0 }[/tex]
De acordo com enunciado pede que uma solução e analisando os item dos resultados que o enunciado deseja alternativa correta é a letra D.
Mais conhecimento acesse:
https://brainly.com.br/tarefa/2173658
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