a) A medida do comprimento da frente do palco é de 10π metros.
b) É possível utilizar o mesmo raciocínio da questão A para o ângulo dado. O comprimento do palco nesse caso é de (102/9)π metros.
Questão A
- Ângulo Central e Ângulo Inscrito
Ângulo Inscrito: Um ângulo inscrito é qualquer ângulo que possui como vértice um ponto da circunferência.
Ângulo Central: Um ângulo central é qualquer ângulo que possui como vértice o centro da circunferância.
A partir das revisões de Ângulo inscrito e Ângulo central, podemos recordar também que, quando as secantes de um ângulo inscrito e um ângulo central se encontrar na circunferência, podemos estabelecer a relação:
[tex]\boxed{\text{Angulo Inscrito} = \dfrac{\text{Angulo Central} }{2} }[/tex]
Aplicando isso no problema dado, observe que o ângulo inscrito vale 45º. Logo, o ângulo central do palco é igual a 90º.
Dado que o comprimento do palco corresponde ao comprimento do arco de circunferência de 90º, Sabendo que o comprimento de uma circunferência de raio [tex]r[/tex] vale [tex]2 \pi r[/tex], para um ângulo de 90º, o comprimento da frente do palco vale:
[tex]\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}} = \dfrac{C_{a} }{C_{T} } \\\\\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}} = \dfrac{C_{a} }{2\pi r } \\\\C_{a}= \dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi r \\\\C_{a}= \dfrac{1}{4} \cdot \cdot 2\pi (20) \\\\C_{a}=10 \pi \:m[/tex]
Logo, o comprimento da frente do palco será de [tex]10 \pi[/tex] metros.
Questão B
Com a mesma lógica da questão A, observe que se o Ângulo inscrito for de 51º, o ângulo central será o dobro, ou seja, 102º.
Dado que o raio da circunferência é o mesmo, podemos utilizar a mesma proporção para determinar o comprimento do palco.
[tex]\dfrac{102^{\circ}}{360^{\circ}} = \dfrac{C_{a} }{C_{T} } \\\\\dfrac{102^{\circ}}{360^{\circ}} = \dfrac{C_{a} }{2\pi r } \\\\C_{a}= \dfrac{51^{\circ}}{180^{\circ}} \cdot 2\pi r \\\\C_{a}= \dfrac{51^{\circ}}{180^{\circ}} \cdot 2\pi (20) \\\\ C_{a}= \dfrac{102}{9} \pi \: m[/tex]
Logo, o comprimento da frente do palco será de [tex]\dfrac{102}{9} \pi[/tex] metros.
Observe que quanto maior o ângulo inscrito, maior será o comprimento do arco de circunferência formato e por consequência, maior será o comprimento do palco.
Para saber mais sobre Circunferências, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/48945153
Espero ter ajudado, até a próxima :)
