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As dimensões que fazem o custo do tanque mínimo são 0,935 dm de raio e 2,18 dm de altura.
Se o tanque é cilíndrico e tem 6 decímetros cúbicos (6 l) de volume, podemos estabelecer uma primeira equação:
[tex]V=\pi.r^2.h[/tex]
Em que 'r' é o raio do tanque e 'h' é a altura. Tendo os custos por decímetro cúbico da tampa, do fundo e dos laterais, é possível estabelecer uma equação para o custo do tanque:
[tex]C=5.\pi.r^2+2.\pi.r^2+2\pi.r.h.3\\\\C=7\pi.r^2+6\pi.r.h[/tex]
Utilizando a expressão do volume é possível colocar a altura do tanque em função do raio e substituir no custo:
[tex]h=\frac{V}{\pi.r^2}\\\\C=7\pi.r^2+6\pi.r\frac{V}{\pi.r^2}\\C=7\pi.r^2+\frac{6V}{r}=\frac{7\pi.r^3+6V}{r}[/tex]
Para achar o raio com o qual o custo é mínimo devemos derivar esta função e igualar a derivada para zero:
[tex]\frac{dC}{dr}=\frac{21\pi.r^2.r-7\pi.r^3-6V}{r^2}\\\\21\pi.r^2.r-7\pi.r^3-6V=0\\\\14\pi.r^3-6V=0\\\\r=\sqrt[3]{\frac{6V}{14\pi}}=\sqrt[3]{\frac{6.6dm^3}{14\pi}}\\\\r=0,935dm[/tex]
Com a expressão do volume podemos calcular a altura do tanque:
[tex]V=\pi.r^2h\\\\h=\frac{V}{\pi.r^2}=\frac{6dm^3}{\pi.(0,935m)^2}=2,18m[/tex]
Mais exemplos de máximos e mínimos de funções em https://brainly.com.br/tarefa/19952377
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