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Explicação passo a passo:
Dizemos que uma função [tex]f:~D\subset\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}[/tex] é limitada se e somente se existem constantes reais [tex]m[/tex] e [tex]M,[/tex] tais que
[tex]m\le f(x,\,y)\le M[/tex]
para todo [tex](x,\,y)\in D=\mathrm{Dom}(f).[/tex]
Queremos mostrar que a função [tex]f(x,\,y)=\dfrac{y^2}{x^2+y^2+1}[/tex] é limitada.
De fato, [tex]f[/tex] é função racional de duas variáveis com numerador e denominador não-negativos, pois o numerador é o quadrado de um número real, e o denominador é uma soma de quadrados. Logo, temos
[tex]0\le f(x,\,y)\qquad\mathrm{(i)}[/tex]
para todo [tex](x,\,y)\in\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}^2.[/tex]
Por outro lado, temos
[tex]\begin{array}{l} \dfrac{x^2+y^2+1}{x^2+y^2+1}=1\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{y^2}{x^2+y^2+1}+\dfrac{x^2+1}{x^2+y^2+1}=1\end{array}[/tex]
Acima temos a soma de duas frações não-negativas sendo igual a 1. Portanto, cada parcela deve ser no máximo igual a 1. Em particular, devemos ter
[tex]\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad \dfrac{y^2}{x^2+y^2+1}\le 1\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(x,\,y) \le 1\qquad\mathrm{(ii)}\end{array}[/tex]
para todo [tex](x,\,y)\in\mathbb{R}^2.[/tex]
Por (i) e (ii), concluímos que
[tex]0\le f(x,\,y) \le 1[/tex]
para todo [tex](x,\,y)\in\mathbb{R}^2.[/tex] Logo, [tex]f[/tex] é limitada, como queríamos demonstrar.
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