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Resposta:
b) 10
Explicação passo a passo:
Como o lucro é dada pela função quadrática [tex]L(x)=-5x^{2} + 100x -80[/tex], temos:
[tex]a = -5, b=100, c=-80[/tex]
Podemos verificar que o gráfico será uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente "a" < 0, sendo que no eixo "x" teremos a quantidade de produtos e no eixo "y" o lucro.
Como queremos achar o lucro máximo, ele será obtido quando a quantidade de produtos estiver no ponto máximo da parábola, ou seja, no vértice da parábola.
Antes de calcular o vértice, precisamos calcular o delta:
[tex]delta = b^{2}-4.a.c = 100^{2}-4.(-5).(-80)= 10000-1600=8400[/tex]
Cálculo do vértice:
[tex]x_v = \frac{-b}{2a} =\frac{-100}{2(-5)} =\frac{-100}{-10} =10[/tex]
[tex]y_v = \frac{-(delta)}{4a} =\frac{-8400}{4(-5)} =\frac{-8400 }{-20} =420[/tex]
Logo, para que o lucro máximo seja de R$ 420, precisamos vender 10 produtos, resposta "B".
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Podemos criar o gráfico que deixa bem claro o cálculo acima, para isso precisamos calcular as raízes, mas antes iremos calcular [tex]\sqrt{delta}[/tex]
[tex]\sqrt{delta} =\sqrt{8400} =20\sqrt{21}[/tex]
Calculo das raízes:
[tex]x_1 = \frac{-b+\sqrt{delta}}{2.a} =\frac{-100+20\sqrt{21} }{2(-5)} =\frac{-100+20\sqrt{21} }{-10}=\frac{-20(5-\sqrt{21} )}{-10}=2(5-\sqrt{21})[/tex]
[tex]x_2 = \frac{-b-\sqrt{delta}}{2.a} =\frac{-100-20\sqrt{21} }{2(-5)} =\frac{-100-20\sqrt{21} }{-10}=\frac{-20(5+\sqrt{21} )}{-10}=2(5+\sqrt{21})[/tex]
Assim o gráfico intercepta o eixo de produtos nos pontos:[tex]\:\left(2\left(5-\sqrt{21}\right),\:0\right),\:\left(2\left(5+\sqrt{21}\right),\:0\right)[/tex]
o vértice é dado pelo ponto:
[tex]\left(10,\:420\right)[/tex]
