A medida do ângulo  é igual a 36º.
Um triângulo é chamado um triângulo Isósceles quando possui dois lados com a mesma medida. Em um triângulo isósceles os ângulos que não são formados pelo lados de mesma medida são iguais.
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.
O ângulo externo a um triângulo é igual a soma dos outros dois ângulo do triângulo não adjacentes a ele.
Veja que como no triângulo ABC os lados AB e AC têm a
mesma medida os ângulos [tex]A\hat{B}C[/tex] e [tex]A\hat{C}B[/tex] têm a mesma medida. Chamemos essa medida de y. Chame de x a medida do ângulo  que queremos encontrar.
No triângulo ABC, temos que a soma dos ângulos internos vale 180º, isto implica que
x + y + y = x + 2y = 180º.
Agora, como PB e BC têm a mesma medida, o triângulo BCP também é isósceles e o ângulo [tex]B\hat{P}C[/tex] também mede y. Da mesma forma, como AP e PB possuem a mesma medida o ângulo [tex]A\hat{B}P[/tex] mede x. Assim, pelo Teorema do Ângulo externo, temos
y = 2x.
Uma vez que o ângulo [tex]B\hat{P}C[/tex] é externo ao triângulo ABP.
Substituindo y = 2x na primeira equação encontramos que:
x + 2(2x) = 180º
x + 4x = 180º
5x = 180º
x = 180º/5 = 36º.
Assim, encontramos que a medida do ângulo  é igual a 36º.
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