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Resposta:
[tex]\frac{1335}{396}[/tex]
Explicação passo a passo:
Como nesse exemplo todas as dízimas são simples, basta seguir a regra, o numerador será igual a parte inteira com o período menos a parte inteira(ou, como essa questão só envolve dízimas sem parte inteira, o numerador será igual ao período), e no denominador, a quantidades de "noves" igual ao número de algarismo do período. Observe:
0,22222 = [tex]\frac{2}{9}[/tex]
0,121212 = [tex]\frac{12}{99}[/tex]
0,3333 = [tex]\frac{3}{9}[/tex]
Assim, temos a equação:
[tex]\frac{2}{9}[/tex] + [tex]\frac{1}{4}[/tex] - [tex]\frac{12}{99}[/tex] + (-2 + [tex]\frac{3}{9}[/tex])²
[tex]\frac{2}{9}[/tex] + [tex]\frac{1}{4}[/tex] - [tex]\frac{12}{99}[/tex] + ([tex]-\frac{18}{9}[/tex] + [tex]\frac{3}{9}[/tex])²
[tex]\frac{2}{9}[/tex] + [tex]\frac{1}{4}[/tex] - [tex]\frac{12}{99}[/tex] + ([tex]-\frac{15}{9}[/tex])²
[tex]\frac{2}{9}[/tex] + [tex]\frac{1}{4}[/tex] - [tex]\frac{12}{99}[/tex] + [tex]\frac{225}{81}[/tex]
Para continuar resolvendo, é preciso que todas as frações tenham o mesmo denominador, para isso, faz-se o M.M.C dos denominadores e encontram-se novas frações correspondentes às antigas, mas com um novo denominador
M.M.C
99 , 81 , 9 , 4 | 2
99 , 81 , 9 , 2 | 2
99 , 81 , 9 , 1 | 9
11 , 9 , 1 , 1 | 9
11 , 1 , 1 , 1 | 11
1 , 1 , 1 , 1 | 3564
Tem-se assim, 3564 como novo denominador e a nova equação é
[tex]\frac{792}{3564}[/tex] + [tex]\frac{891}{3564}[/tex] - [tex]\frac{432}{3564}[/tex] + [tex]\frac{9900}{3564}[/tex]
[tex]\frac{12 015}{3564}[/tex] = [tex]\frac{1335}{396}[/tex]
Como não há mais divisores em comum entre 1335 e 396, [tex]\frac{1335}{396}[/tex] é a resposta em fração na sua versão mais reduzida, que em dízima periódica seria igual a 3,37121212...
OBS: Para transformar uma fração em outra de mesmo valor deve-se dividir o valor do novo denominador pelo valor do antigo e multiplicar o resultado pelo valor do numerador antigo, encontrando-se assim o novo numerador.
Espero ter ajudado ; )