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Sagot :
Resposta:
Os valores naturais de k para os quais a equação [tex]k x^{2} - 4x + 1 = 0[/tex] tem duas raízes reais e distintas são {1, 2, 3}.
Explicação passo a passo:
Quando utilizamos a fórmula de Bhaskara para resolver equações do 2º grau, temos algumas conclusões de ordem prática que permitem saber quantas raízes a equação vai ter, simplesmente calculando o Δ:
- Se Δ>0, temos duas raízes reais e distintas;
- Se Δ=0, temos uma única raiz;
- Se Δ<0, não temos raízes reais.
Assim, precisamos saber se o Δ da equação dada é maior que zero, uma vez que a questão quer identificar os valores naturais de k que geram duas raízes reais e distintas. Então:
Δ[tex]=(-4)^{2} -4*k*1=16-4k[/tex]
Como estamos procurando valores em que Δ>0, temos a seguinte inequação:
[tex]16-4k > 0\\-4k > -16\\4k < 16\\k < \frac{16}{4}\\k < 4[/tex]
Observemos que da segunda para a terceira linha, precisamos mudar os sinais dos termos, o que também provoca a inversão da inequação de > para <.
Por fim, como a questão solicita valores naturais, não podemos utilizar números negativos. Logo, se k<4, os valores possíveis seriam 0, 1, 2 e 3. Contudo, para k=0, deixaríamos de ter uma equação do 2º grau, já que é o coeficiente de x².
Então, o conjunto resposta correto é {1, 2, 3}.
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