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✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor da referida potência da unidade imaginária é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf P(i^{37}) = i\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, a opção correta é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa\:C\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Seja a potência da unidade imaginária:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} i^{37}\end{gathered}$}[/tex]
Para calcular o valor desta potência devemos utilizar a seguinte fórmula:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(i^{n}) = i^{n - \left[\bigg\lfloor\dfrac{n}{4}\bigg\rfloor\cdot4\right]},\:\:n\in\mathbb{Z}\end{gathered}$}[/tex]
Onde:
[tex]\Large\begin{cases} P = Pot\hat{e}ncia\:final\\i = Unidade\:imagin\acute{a}ria\\n = Pot\hat{e}ncia\:inicial\end{cases}[/tex]
Observe que a parte da fórmula representada por...
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bigg\lfloor\dfrac{n}{4}\bigg\rfloor\end{gathered}$}[/tex]
...representa o piso do quociente entre o valor do expoente "n" e "4".
Substituindo os valores na equação "I", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(i^{37}) = i^{37 -\left[\bigg\lfloor\dfrac{37}{4}\bigg\rfloor\cdot4\right]}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = i^{37-\left[\lfloor9,25\rfloor\cdot4\right]}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = i^{37 - \left[9\cdot4\right]}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = i^{37 - 36}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = i^1\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = i\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, o resultado é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(i^{37}) = i\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
