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✅ Observando que temos de calcular um limite no infinito e tomando a devida técnica, obteremos
[tex]\displaystyle\rm \lim_{x\to-\infty} \frac{x^4+3x^2+1}{2x+3} = -\infty [/tex]
☁️¹ Limite no infinito: A resolução de um processo limite no infinito resulta em trocarmos a função por outra com o mesmo comportamento quando a variável independente tende para valores arbitrariamente grandes em módulo, isto é, tão grande quando quisermos em valor absoluto. Não podemos fazer as manipulações indiscriminadamente, mas com a noção de que infinito é uma ideia, será suficiente.
☁️² Definição: [tex] \rm \psi = \psi(x) [/tex] é um infinitesimal ou infinitamente pequeno quando [tex] \rm x\to a [/tex] ou [tex] \rm x\to \pm\infty [/tex] se [tex] \displaystyle\rm\lim_{x\to a} \psi(x) = 0 [/tex] ou [tex] \displaystyle\rm\lim_{x\to \pm\infty} \psi(x) = 0 [/tex].
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm Ex.\!\!:~\psi(x) = \dfrac{1}{x}\\\\ ~~~~\quad\displaystyle\rm\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0 \end{array} [/tex]
Então, dizemos que [tex] \rm\psi(x) [/tex] é um infinitesimal.
✍️ Solução: A técnica a ser utilizada é dividir todos os termos da função racional pelo termo de maior crescimento presente no denominador. Veja que no numerador vai sobrar um termo cúbico e é ele que vamos levar em consideração:
[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm\lim_{x\to-\infty}\overbrace{\normalsize\rm \frac{x^4+3x^2+1}{2x+3} }^{\rm \eta(x)} &=\displaystyle\rm \lim_{x\to-\infty} \frac{\frac{x^4+3x^2+1}{x} }{\frac{2x+3}{x}} \\\\&=\displaystyle\rm\lim_{x\to-\infty} \frac{\frac{x^4}{x}+\frac{3x^2}{x}+\frac{1}{x} }{\frac{2x}{x}+\frac{3}{x}} \\\\&=\displaystyle\rm\lim_{x\to-\infty} \frac{x^3+3x+0}{2+0} \\\\&=\displaystyle\rm\frac{1}{2}\lim_{x\to-\infty} x^3+3x \\\\&=\displaystyle\rm\frac{1}{2}\lim_{x\to-\infty} x^3 = -\infty \end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm \therefore\:\lim_{x\to-\infty} \eta(x) = -\infty }}}}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare\end{array} [/tex]
✔️ Considerações: Note que ao final de tudo o comportamento de [tex] \rm\eta(x) [/tex] é o mesmo da função [tex] \rm \varphi(x) = x^3 [/tex], ou seja, quando [tex] \rm x [/tex] fica grande tanto quando queiramos por valores negativos, a função estoura para [tex]-\infty [/tex]. Outro ponto é que da quarta para a quinta passagem eu tinha [tex] \rm x^3 + 3x [/tex] no limite e usei somente o [tex] \rm x^3 [/tex], isso ocorre pois estamos fugindo das indeterminações como é o caso de [tex] \rm -\infty + \infty [/tex], daí eu posso fatorar ou apenas analisar o termo que tem maior crescimento.
⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre limites, cálculo:
[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]
