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01. Arnaldo pensou em um número de quatro dígitos e desafiou Bernardo a descobrir qual era o número. Para tanto, passou as seguintes três dicas para Bernardo, sendo que exatamente uma das dicas é falsa. • Dica 1: O número é um cubo perfeito; • Dica 2: O número é o menor número de quatro dígitos que possui quatro divisores positivos; • Dica 3: O número é múltiplo de 59. Qual o número pensado por Arnaldo?
Arnaldo e Bernardo… creio que seja questão da OBM XD
Enfim, todo número natural pode ser decomposto como o produto de fatores primos. Seja N o número que Arnaldo pensou. Temos que N = [tex]p_{1}^{\alpha_{1}}[/tex].[tex]p_{2}^{\alpha_{2}}[/tex].[tex]p_{3}^{\alpha_{3}}[/tex].(…). O número de divisores positivos de N é dado por [tex]\alpha_{1}[/tex].[tex]\alpha_{2}[/tex].[tex]\alpha_{3}[/tex].(…).
Agora vamos ver qual delas é falsa, supondo que cada uma delas seja a mentirosa
DICA 1 FALSA: como a dica 2 é verdadeira temos quatro divisores, ou seja, [tex]\alpha_{1}[/tex] = 3 ou [tex]\alpha_{1}[/tex] = [tex]\alpha_{2}[/tex] = 1. Como a dica 3 também é verdadeira temos que [tex]p_{1}[/tex] = 59. A primeira possibilidade será ignorada, pois N seria um cubo e a dica 1 seria verdade, daí temos que N = 59.p. O menor valor de p primo para que N tenha quatro dígitos é 17, mas entramos numa contradição com a dica 2, pois o menor número de quatro dígitos com quatro divisores positivos é 1000 (na verdade ele possui mais, portanto ele é contado, já que não são EXATAMENTE quatro divisores positivos)
DICA 2 FALSA: curto e grosso, 59³ tem seis dígitos, logo a afirmação 2 é verdadeira.
DICA 3 FALSA: 1000 é um cubo. 1000 tem quatro divisores positivos. 1000 não é múltiplo de 59. Logo a dica falsa é, realmente, a terceira e o número pensado é 1000 :D