Olá, Lanny.
Fiz o possível. Veja se a solução te agrada.
[tex]n\text{ termos}\begin{cases}\overbrace{777...7777}^{n\text{ algarismos}}\\ \vdots\\ 7777\\ 777\\ 77\\ 7\end{cases}[/tex]
Empilhando os números e somando, verificamos que a soma das unidades é 7n, onde n é o número de algarismos do maior número da soma (777 ... 7777).
O algarismo da unidade é a soma 7n deduzida de 10 vezes a parte inteira do quociente entre esta soma e 10:
[tex]7n-10\cdot\lfloor{\frac{7n}{10}}\rfloor[/tex]
Exemplo, se a soma das unidades der 49, o último algarismo das unidades é 49 - 40 = 9 e assim por diante.
A soma das dezenas é 7(n-1), onde n é o número de algarismos do maior número da soma (777 ... 7777).
Devemos somar ainda o valor inteiro do quociente entre a soma das unidades e 10, "transportado" para a esquerda (o chamado "vai um", "vai dois", "vai dez", "vai trinta e seis", etc.):
[tex]7(n-1) + \lfloor{\frac{7n}{10}}\rfloor[/tex]
O algarismo da dezena é, portanto, a soma acima, deduzida de 10 vezes a parte inteira do quociente entre esta soma e 10:
[tex]\boxed{7(n-1) + \lfloor{\frac{7n}{10}}\rfloor-10\cdot\lfloor{\frac{7(n-1) + \lfloor{\frac{7n}{10}}\rfloor}{10}} \rfloor}[/tex]
O resultado, à primeira vista, parece um pouco complexo, mas exprime fielmente o valor do dígito das dezenas em função de n, que é o número de algarismos do maior número da soma.
Façamos um exemplo, para ilustrar o uso da expressão obtida:
[tex]7+77+777+7777=8638\Rightarrow n=4\text{ (n.\º de algarismos de 7777)}[/tex]
[tex]7(n-1) + \lfloor{\frac{7n}{10}}\rfloor-10\cdot\lfloor{\frac{7(n-1) + \lfloor{\frac{7n}{10}}\rfloor}{10}} \rfloor= \\\\ =21 + \lfloor{\frac{28}{10}}\rfloor-10\cdot\lfloor{\frac{21 + \lfloor{\frac{28}{10}}\rfloor}{10}}\rfloor= \\\\ =21 + \lfloor{2,8}\rfloor-10\cdot\lfloor\frac{{21 + \lfloor{2,8}\rfloor}}{10}}\rfloor= \\\\ =21 + 2 - 10\cdot\lfloor{\frac{21 + 2}{10}}\rfloor = \\\\ =23 - 10\cdot\lfloor{2,3}\rfloor = \\\\ =23 - 10\cdot2=\\\\ =23-20=\\\\ =3\text{ (algarismo das dezenas de 8638)}[/tex]
