A partir dos devidos cálculos realizados, chegamos na conclusão de que:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x^{2} +\dfrac{1}{x^{2} } = 7 } $ }[/tex]
E tendo alternativa correta é a letra A.
Equações do segundo grau são equações do tipo: ax² +bx+c, com a, b e c ∈ R e a ≠ 0.
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf x^{2} -3x + 1 = 0 \\\sf x^{2} + \dfrac{1}{ x^{2} } = \:? \end{cases} } $ }[/tex]
Resolução:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x^{2} -3x + 1 = 0 \implies x^{2} = 3x - 1 } $ }[/tex]
Qual é o valor de x² + 1/x².
Substituindo, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x^{2} +\dfrac{1}{x^{2} } } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3x - 1 + \dfrac{1}{3x - 1} } $ }[/tex]
Aplicando o m.m.c, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\dfrac{ (\,3x - 1 \,)^2 }{3x -1} + \dfrac{1}{3x-1} } $ }[/tex]
Desenvolvendo o produto notável, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{9x^{2} - 6x + 1 + 1}{3x- 1} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{9x^{2} -6x +2}{3x- 1} } $ }[/tex]
Fazendo o fator de evidência, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{9x^{2} -2 \cdot (\,3x - 1 \,) }{3x- 1} } $ }[/tex]
fazendo a fatoração por agrupamento, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{9 \cdot (\, 3x - 1\,) -2 \cdot (\,3x - 1 \,) }{3x- 1} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{(\, 9- 2 \,) \cdot (\, 3x -1 \,)}{3x - 1} } $ }[/tex]
Simplificando os fatores comuns, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{ (\, 9 - 2\,) \cdot \:\:\Big/ \mkern -25mu (\, 3x - 1\,) }{\Big/ \mkern -25 mu (\,3x- 1 \,)} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 9 -2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 7 } $ }[/tex]
Logo:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x^{2} +\dfrac{1}{x^{2} } = 7 } $ }[/tex]
Alternativa correta é a letra A.
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