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Sagot :
✅ Tarefa (60409632) - Após resolver os cálculos, concluímos que os outros dois vértices faltantes do quadrado são, respectivamente:
[tex]\LARGE\begin{cases} B = (3, \:1)\\D = (1,\:3)\end{cases}[/tex]
Sejam os extremos de uma das diagonais do referido quadrado:
[tex]\Large\begin{cases} A = (1,\:1)\\C = (3,\:3)\end{cases}[/tex]
Uma das formas analíticas de se responder esta questão é por rotação de vetores associados a números complexos. Então, devemos:
- Determinar o ponto médio da diagonal dada.
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}M & = \left( \frac{x_A + x_C}{2},\:\frac{y_A + y_C}{2}\right)\\& = \left( \frac{1 + 3}{2},\:\frac{1 + 3}{2}\right)\\& = \left( \frac{4}{2},\:\frac{4}{2}\right)\\& = (2,\:2)\end{aligned} $}[/tex]
Portanto:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} M= (2,\:2)\end{gathered}$}[/tex]
- Converter os ponto "A" e "M" a afixos complexos.
[tex]\Large\begin{cases} A = (1,\:1) = 1 + i\\M = (2,\:2) = 2 + 2i\end{cases}[/tex]
- Determinar o seno e o cosseno de 90° e de -90°.
[tex]\Large \begin{array}{c|c|c}\underline{~\bf \hat{A}ngulo}~ & \underline{~\bf seno~} &\underline{~\bf cosseno~}\\\underline{~~~~90^{\circ}~~~} & \underline{~~~1~~~} & \underline{~~~~~0~~~~~}\\\underline{~~-90^{\circ}~~} & \underline{~-1~} & \underline{~~~~~0~~~~~}\end{array}[/tex]
- Determinar o ponto "B". Uma vez sabendo que o vetor MB é igual à rotação do vetor MA 90° no sentido anti-horário. Então, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\overrightarrow{MB} & = \overrightarrow{MA}\cdot\textrm{cis}(90^{\circ})\\B - M & = (A - M)\cdot\textrm{cis}(90^{\circ})\\B & = (A - M)\cdot \textrm{cis}(90^{\circ}) + M\\B & = (A - M)\cdot \left[ \cos(90^{\circ}) + i\cdot \sin(90^{\circ})\right]+ M\end{aligned} $}[/tex]
Substituindo os dados nesta última equação, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}B & = \left[ (1 + i) - (2 + 2i)\right]\cdot\left[ 0 + i\cdot1\right] + (2 + 2i)\\& = \left[ 1 + i - 2 - 2i\right]\cdot i + (2 + 2i)\\& = \left[ -1 - i\right]\cdot i + 2 + 2i\\& = -i - i^2 + 2 + 2i\\& = -i - (-1) + 2 + 2i\\& =- i + 1 + 2 + 2i\\& = 3 + i\end{aligned} $}[/tex]
Portanto:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} B = 3 + i\end{gathered}$}[/tex]
Convertendo o afixo "B" de volta a ponto cartesiano, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} B = (3, \:1)\end{gathered}$}[/tex]
- Determinar o ponto "D". Uma vez sabendo que o vetor MD é igual à rotação do vetor MA 90° no sentido horário. Então, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\overrightarrow{MD} & = \overrightarrow{MA}\cdot\textrm{cis}(90^{\circ})\\D - M & = (A - M)\cdot\textrm{cis}(-90^{\circ})\\D & = (A - M)\cdot \textrm{cis}(-90^{\circ}) + M\\D & = (A - M)\cdot \left[ \cos(-90^{\circ}) + i\cdot \sin(-90^{\circ})\right]+ M\end{aligned} $}[/tex]
Substituindo os dados nesta última equação, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}D & = \left[ (1 + i) - (2 + 2i)\right]\cdot\left[ 0 + i\cdot(-1)\right] + (2 + 2i)\\& = \left[ 1 + i - 2 - 2i\right]\cdot(-i) + (2 + 2i)\\& = \left[ -1 - i\right]\cdot(-i) + 2 + 2i\\& = i + i^2 + 2 + 2i\\& = i + (-1) + 2 + 2i\\& = i - 1 + 2 + 2i\\& = 1 + 3i\end{aligned} $}[/tex]
Portanto:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} D = 1 + 3i\end{gathered}$}[/tex]
Convertendo o afixo "D" de volta a ponto cartesiano, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} D = (1,\:3)\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, o vértices procurados são:
[tex]\Large\begin{cases} B = (3, \:1)\\D = (1,\:3)\end{cases}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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