Com os cálculos finalizado podemos afirmar que:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{d}{dx} \,\left [\, \dfrac{x^{3}+2x }{x^{2} -3} \, \right] = \dfrac{x^{4} -11x^{2} -6 }{(\, x^{2} -3 \,)^2} } $ }[/tex]
A derivada é uma ferramenta que utiliza para resolver alguns problemas mais complexo.
Algumas derivadas para resolução:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\bullet \quad \dfrac{d}{dx} \, [\; x^{n} \; ] = n \cdot x^{n-1} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad \dfrac{d}{dx} \,[\, k \, ] = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad \dfrac{d}{dx} \,\left [\, \dfrac{f(\,x\,)}{g(\, x \,)} \, \right] = \dfrac{f'(\,x\,) \cdot g(\,x\,) - f(\,x \,) \cdot g'(\, x\,)}{ [ \,g(\, x \,) \,]^2} } $ }[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f(\, x\,) = \dfrac{x^{3} + 2x }{x^{2} - 3} } $ }[/tex]
Resolução:
Fazendo:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ u =x^{3}+ 2x \implies u' = 3x^{2} + 2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ v = x^{2} -3 \implies v' = 2x - 0 } $ }[/tex]
Substituindo na f( x ), temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{d}{dx} \,\left [\, \dfrac{u}{v} \, \right] = \dfrac{u' \cdot v -u \cdot v'}{ [ \,v \,]^2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{d}{dx} \,\left [\, \dfrac{x^{3}+2x }{x^{2} -3} \, \right] = \dfrac{(\, 3x^{2} +2 \,) \cdot (\, x^{2} -3 \,)- (\, x^{3}+2x \,) \cdot 2x}{(\, x^{2} -3 \,)^2 } } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{d}{dx} \,\left [\, \dfrac{x^{3}+2x }{x^{2} -3} \, \right] = \dfrac{3x^{4}-9x^{2} +2x^{2} -6-2x^{4 } -4x^{2} }{(\, x^{2} -3 \,)^2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{d}{dx} \,\left [\, \dfrac{x^{3}+2x }{x^{2} -3} \, \right] = \dfrac{3x^{4} -2x^{4} -9x^{2} -4x^{2} +2x^{2} -6 }{(\, x^{2} -3 \,)^2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{d}{dx} \,\left [\, \dfrac{x^{3}+2x }{x^{2} -3} \, \right] = \dfrac{x^{4} -13x^{2} +2x^{2} -6 }{(\, x^{2} -3 \,)^2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{d}{dx} \,\left [\, \dfrac{x^{3}+2x }{x^{2} -3} \, \right] = \dfrac{x^{4} -11x^{2} -6 }{(\, x^{2} -3 \,)^2} } $ }[/tex]
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