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Explicação passo-a-passo:
Claro, aqui está uma explicação simples:
O determinante de uma matriz é um número que nos diz várias coisas sobre essa matriz. Por exemplo, se o determinante é zero, isso significa que as linhas ou colunas da matriz são dependentes umas das outras, o que significa que elas podem ser combinadas de alguma maneira para formar uma linha ou coluna igual a zero. Isso é útil em muitos problemas matemáticos e físicos, porque nos ajuda a entender se um sistema de equações tem uma solução, se um conjunto de vetores é linearmente independente, ou se uma transformação linear preserva a área ou o volume, entre outras coisas. Então, o determinante é como um "sinal" que nos dá informações importantes sobre a matriz.
Resposta:
Vamos resolver cada parte do exercício:
1)
A) det A
A matriz A é uma matriz 1x1, então o determinante é simplesmente o elemento dessa matriz:
det A = 2
B) det B
Para calcular o determinante de B, usamos a regra de Sarrus:
det B = (1 * 3) - (2 * (-1)) = 3 + 2 = 5
C) det C
Também utilizando a regra de Sarrus:
det C = (1 * 1 * 0) + (2 * 0 * 3) + (-1 * 1 * 4) - (0 * 2 * 3) - (2 * (-1) * 0) - (3 * 2 * 1) = 0 + 0 - (-4) - 0 - 0 - 6 = 4 - 6 = -2
D)
Se considerarmos a matriz:
\[ \begin{pmatrix} a & b & c \\ 2a & 2b & 2c \\ d & e & f \end{pmatrix} \]
Se uma linha é o dobro da outra linha, então o determinante dessa matriz é zero.
Se a linha fosse o triplo da outra, então o determinante seria também zero.
2)
a) Usando a regra de Sarrus:
det(a) = (2 * 2 * 2) + (0 * 0 * 2) + (2 * a * 0) - (2 * 0 * 2) - (0 * 2 * 2) - (2 * a * 0) = 8 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 = 8
b) Como a coluna do meio é zero, o determinante será zero.
c) O determinante de uma matriz 2x2 é dado por \(ad - bc\). Então, o determinante da matriz original é \(ad - bc\), e o determinante da matriz triplicada é \(3(ad) - 3(bc) = 3(ad - bc)\), ou seja, triplica.
3)
\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 8 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 9 & 4 \end{pmatrix} \]
O determinante de uma matriz é a soma dos produtos das diagonais menos a soma dos produtos das diagonais secundárias:
det(d) = (7 * 4) - (4 * 9) = 28 - 36 = -8
4)
A) det(A+B) = det \(\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}\) = (2 * 2) - (5 * (-4)) = 4 + 20 = 24
B) det(B+A) = det \(\begin{pmatrix} 0 & 9 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}\) = (0 * 6) - (9 * (-2)) = 0 + 18 = 18
C) det A . det B = (2 * 4) - (1 * (-3)) = 8 + 3 = 11
5)
a) Se uma linha tem zeros, o determinante será zero, pois um dos termos será multiplicado por zero.
Para \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\), os determinantes serão todos zero.
Para \(I_4\), dado que uma linha é zero, o determinante também será zero.