Olá.
Sejam as funções [tex]\mathsf{u(x)}[/tex] e [tex]\mathsf{v(x)}[/tex]. Se [tex]\mathsf{u}[/tex] e [tex]\mathsf{v}[/tex] são funções deriváveis em um certo intervalo, então:
[tex]\boxed{\mathsf{\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{u}{v}(x)\right] = \dfrac{u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\prime}(x)}{v^2(x)}}}[/tex]
Também utilizaremos o fato das derivadas simples:
[tex]\boxed{\mathsf{\dfrac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n - 1} \ e \ \dfrac{d}{dx}(e^x) = e^x}}[/tex]
A função a ser derivada é a função [tex]\mathsf{f(x) = \dfrac{x^2}{e^x}}[/tex]. Da questão, basta que façamos [tex]\mathsf{u(x) = x^2}[/tex] e [tex]\mathsf{v(x) = e^x}[/tex]. Assim:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{u}{v}(x)\right] = \dfrac{u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\prime}(x)}{g^2(x)}}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{x^2}{e^x}\right] = \dfrac{(x^2)^{\prime} \cdot e^x - (e^x)^{\prime} \cdot x^2}{(e^x)^2}}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{x^2}{e^x}\right] = \dfrac{2 \cdot x^{2 - 1} \cdot e^x - e^x \cdot x^2}{e^{2x}}}\\\\\\[/tex]
[tex]\boxed{\mathsf{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{x^2}{e^x}\right] = \dfrac{2xe^x - x^2e^x}{e^{2x}}}}[/tex]
Desta forma, chegamos à seguinte conclusão:
[tex]\boxed{\mathsf{\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{x^2}{e^x}\right] = \dfrac{2xe^x - x^2e^x}{e^{2x}}}}[/tex]
Assim como aparece na alternativa de letra C.
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