5. Custo da cerca do terreno:
Solução:
Para calcular o custo total da cerca, é necessário determinar o perímetro do terreno, que corresponde à soma dos comprimentos de seus lados. Como o terreno é um triângulo retângulo, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da hipotenusa, que representa o terceiro lado do triângulo.
Cálculo do perímetro:
Hipotenusa: H = √(23² + 32²) = 39 metros
Perímetro = 23 m + 32 m + 39 m = 94 metros
Cálculo do custo total:
Custo por metro de cerca: R$ 12,00
Custo total: 94 metros * R$ 12,00/metro = R$ 1.128,00
Resultado:
O custo total para cercar todo o terreno é de R$ 1.128,00.
6. Altura do prédio:
Solução:
Para calcular a altura do prédio, podemos utilizar a função tangente (tg) da trigonometria. A tangente de um ângulo é definida como a razão entre o lado oposto ao ângulo e o lado adjacente ao ângulo em um triângulo retângulo.
Cálculo da altura:
Ângulo conhecido: 30°
Lado adjacente (distância do prédio): 45 metros
Lado oposto (altura do prédio): x metros
Função tangente:
tg 30° = x / 45 metros
x = tg 30° * 45 metros
x = 0,342 * 45 metros
x = 15,3 metros
Resultado:
A altura aproximada do prédio é de 15,3 metros.
7. Altura atingida pelo avião:
Solução:
Para calcular a altura atingida pelo avião, podemos utilizar a função seno (sen) da trigonometria. O seno de um ângulo é definido como a razão entre o lado oposto ao ângulo e a hipotenusa em um triângulo retângulo.
Cálculo da altura:
Ângulo conhecido: 20°
Distância percorrida em linha reta (base do triângulo): 3.000 metros
Altura atingida (lado oposto): x metros
Função seno:
sen 20° = x / 3.000 metros
x = sen 20° * 3.000 metros
x = 0,342 * 3.000 metros
x = 1.026 metros
Resultado:
A altura aproximada atingida pelo avião é de 1.026 metros.
8. Arco trigonométrico e ciclo trigonométrico:
Solução:
a) Conversão de radianos para graus:
Arco: a = 20% π rad = 0,20 π rad
Conversão: 180° / π rad = (0,20 π rad) * (180° / π rad)
Arco em graus: a = 36°
b) Desenho do ciclo trigonométrico:
Localize o ângulo de 36° no círculo trigonométrico, partindo do ponto (1, 0) no sentido anti-horário.
Projete o ponto do ângulo para a intersecção com os eixos x e y.
As coordenadas do ponto de interseção com o eixo x representam o valor do cosseno do ângulo, e as coordenadas do ponto de interseção com o eixo y representam o valor do seno do ângulo.
Observação:
O ciclo trigonométrico é um gráfico que representa as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente em relação aos ângulos em radianos.
9. Conversão de graus para radianos e localização no ciclo trigonométrico:
Solução:
a) Conversão de graus para radianos:
Ângulo: 2370°
Conversão: 2370° * (π rad / 180°) = 13,08 π rad
9. Conversão de graus para radianos e localização no ciclo trigonométrico (continuação):
b) Localização no ciclo trigonométrico:
Localize o ângulo de 13,08 π rad no círculo trigonométrico, partindo do ponto (1, 0) no sentido anti-horário.
Como o ângulo 13,08 π rad é maior que 360°, ele completa mais de uma volta completa no círculo.
Para encontrar a localização correta, divida o ângulo por 2π e determine o restante da divisão.
13,08 π rad / 2π = 6,54 + 0,08 (resto)
O ângulo 13,08 π rad está localizado no 7º quadrante, a um ângulo de 0,08 radianos (ou 4,57°) do eixo x negativo.
c) Determinação dos valores seno e cosseno:
Utilize as coordenadas do ponto de interseção com os eixos x e y para determinar os valores do seno e cosseno do ângulo.
Como o ângulo está no 7º quadrante, os valores do seno e cosseno serão negativos.
Seno = -0,996
Cosseno = -0,087
10. Identidade trigonométrica:
Solução:
A identidade trigonométrica apresentada na questão, sec² θ - 1 = tan² θ, é conhecida como Relação Fundamental da Trigonometria ou Teorema de Pitágoras Trigonométrico. Essa identidade conecta as três funções trigonométricas básicas: seno, cosseno e tangente.
Demonstração da identidade:
Comece com a definição da secante de um ângulo (θ):
sec θ = 1 / cos θ
Utilize a identidade pitagórica em um triângulo retângulo qualquer:
sen² θ + cos² θ = 1
Reagrupe a equação:
cos² θ = 1 - sen² θ
Substitua cos² θ na definição da secante:
sec θ = 1 / (1 - sen² θ)
Simplifique a expressão:
sec θ = 1 + sen² θ / (1 - sen² θ)
Inverta a fração:
sec θ = 1 + (1 / cos² θ)
Substitua a definição da tangente de um ângulo (θ):
sec θ = 1 + tan² θ
Conclusão:
Portanto, a identidade sec² θ - 1 = tan² θ é válida e demonstra a relação fundamental entre as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente.
Observações:
Essa identidade é crucial para derivar outras relações trigonométricas e é utilizada em diversas aplicações matemáticas e científicas.
É importante lembrar que a identidade é válida apenas para ângulos no domínio das funções trigonométricas.
