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Sagot :
RESOLUÇÃO COMENTADA:
Para nós determinarmos o valor de "x", sabendo que o produto deste com o seu sucessor é maior que 3, é necessário resolvermos a seguinte inequação:
[tex] x \cdot (x + 1) > 3 [/tex]
Vamos seguir passo a passo:
- 1. Expandir a inequação, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:
[tex] x \cdot (x + 1) > 3 \\ x^2 + x > 3 \] [/tex]
- 2. Trazer todos os termos para o lado esquerdo da desigualdade para formar uma inequação quadrática ou de segundo grau:
[tex] x^2 + x > 3 \\ x^2 + x - 3 > 0 [/tex]
- 3. Resolver a equação quadrática correspondente:
Para encontrarmos as raízes da equação "x² + x - 3 = 0", nós devemos empregar a fórmula de Bhaskara ou a fórmula quadrática:
[tex] x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} [/tex]
Onde:
[tex] a = 1 \quad b = 1 \quad c = -3 [/tex]
Inserindo os valores dos coeficientes "a", "b" e "c", nós teremos:
[tex] x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{(1)^2 - 4 \cdot (1) \cdot (-3)}}{2 \cdot (1)} \\ x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} \\ x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{13}}{2} \] [/tex]
Portanto, as raízes são:
[tex] x_1 = \dfrac{-1 - \sqrt{13}}{2} \] \\ x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{2} [/tex]
- 4. Estudar os sinais da função quadrática ou de segundo grau "f(x) = x² + x - 3":
Os sinais de uma função quadrática ou de segundo grau têm correlação com o sinal do coeficiente quadrático ou de segundo grau "a".
Dadas as raízes "x₁" e "x₂", com"x₁" < x₂", nós teremos:
→ nos intervalos ]-∞, x₁[ e ]x₂, +∞[, a função quadrática ou de segundo grau tem o mesmo sinal que o sinal do coeficiente quadrático ou de segundo grau "a";
→ no intervalo ]x₁, x₂[, a função quadrática ou de segundo grau tem o sinal contrário ao sinal do coeficiente quadrático ou de segundo grau "a".
Feitas estas considerações, vamos determinar os sinais da função quadrática ou de segundo grau "f(x) = x² + x - 3", sabendo-se que o sinal do coeficiente quadrático ou de segundo grau "a" é positivo (a = 1 > 0) e que as suas raízes são:
[tex] x_1 = \dfrac{-1 - \sqrt{13}}{2} \quad x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{2} [/tex]
Nós teremos:
→ a função "f" será "positiva" nos intervalos ]-∞, x₁[ e ]x₂, +∞[;
→ a "f" será "negativa" no intervalo ]x₁, x₂[.
Logo, os intervalos que satisfazem a inequação "x² + x - 3 > 0" são:
[tex] x < \dfrac{-1 - \sqrt{13}}{2} \\ ou \\ x > \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{2} [/tex]
RESPOSTA:
O valor de "x" deve estar em um dos seguintes intervalos:
[tex] x < \dfrac{-1 - \sqrt{13}}{2} \\ ou \\ x > \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} [/tex]
Portanto, esses devem ser os valores de "x" que satisfazem a condição de que o produto de "x" com seu sucessor, "x + 1", seja maior do que 3.
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