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Sagot :
Resposta:
Explicação passo a passo:## Análise das Afirmativas sobre a Integral Curvilínea:
**Campo Vetorial e Parametrização:**
* O campo vetorial em questão é F(x, y, z) = (x, y, z²).
* A parametrização fornecida é γ(t) = (cos(t), sen(t), t), com t variando de 0 a π.
**Afirmativa 1:**
* A afirmativa I afirma que:
```
∫ F(x, y, z) . ds = 0
```
**Análise da Afirmativa 1:**
* Para avaliar a integral curvilínea, podemos utilizar o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes relaciona a integral curvilínea sobre uma superfície orientada S com a integral de superfície sobre o bordo de S.
* Neste caso, a superfície S parametrizada por γ(t) é um cilindro circular com raio 1 e altura π, orientado para cima.
* O bordo de S consiste em duas bases circulares:
* A base inferior, B1, está no plano z = 0, com raio 1 e orientada para fora.
* A base superior, B2, está no plano z = π, com raio 1 e orientada para dentro.
* Aplicando o Teorema de Stokes:
```
∫ F(x, y, z) . ds = ∫∫ (curl(F)) . dS
```
* O rotor (curl) de F é:
* curl(F) = (0, 0, 2)
* A integral de superfície sobre B1:
* Como curl(F) = (0, 0, 2) e B1 está no plano z = 0, a integral de superfície sobre B1 é zero.
* A integral de superfície sobre B2:
* Como curl(F) = (0, 0, 2) e B2 está no plano z = π, a integral de superfície sobre B2 também é zero.
* Portanto, a integral curvilínea sobre γ(t) é zero:
```
∫ F(x, y, z) . ds = 0
```
**Conclusão da Afirmativa 1:**
* A afirmativa I está **correta**.
**Afirmativa 2:**
* A afirmativa II afirma que a justificativa para a afirmativa I se baseia no fato de que o campo vetorial F é conservativo.
**Análise da Afirmativa 2:**
* Um campo vetorial F é conservativo se existe um campo escalar potencial φ tal que F = grad(φ).
* O campo vetorial F neste caso **não é conservativo**.
* O rotor de F, curl(F) = (0, 0, 2), não é zero em todos os pontos do espaço.
* De acordo com o Teorema de Helmholtz, um campo vetorial no R³ só pode ser conservativo se seu rotor for zero em todos os pontos.
* Portanto, a afirmativa II está **incorreta**.
**Conclusão da Afirmativa 2:**
* A afirmativa II está **falsa**.
**Conclusão Final:**
* A primeira afirmativa é **correta** e a segunda é **falsa**.
**Resposta:**
**B) A primeira afirmativa é correta e a segunda é falsa.**
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