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Sagot :
Resposta:
Para determinar se o trinômio
2
+
4
+
5
x
2
+4x+5 pode ser fatorado como
(
+
1
)
(
+
5
)
(x+1)(x+5), precisamos expandir a expressão
(
+
1
)
(
+
5
)
(x+1)(x+5) e comparar o resultado com o trinômio original. Vamos fazer isso:
Passos da Fatoração
1. Expansão de
(
+
1
)
(
+
5
)
(x+1)(x+5):
(
+
1
)
(
+
5
)
=
2
+
5
+
+
5
=
2
+
6
+
5
(x+1)(x+5)=x
2
+5x+x+5=x
2
+6x+5
Comparação:
O trinômio original é
2
+
4
+
5
x
2
+4x+5.
A expansão
(
+
1
)
(
+
5
)
(x+1)(x+5) resulta em
2
+
6
+
5
x
2
+6x+5.
Conclusão:
2
+
6
+
5
≠
2
+
4
+
5
x
2
+6x+5
=x
2
+4x+5
Portanto,
2
+
4
+
5
x
2
+4x+5 não pode ser fatorado como
(
+
1
)
(
+
5
)
(x+1)(x+5).
Fatoração Correta
Para fatorar corretamente
2
+
4
+
5
x
2
+4x+5, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes do polinômio. Vamos resolver a equação quadrática
2
+
4
+
5
=
0
x
2
+4x+5=0:
=
−
±
2
−
4
2
x=
2a
−b±
b
2
−4ac
Para
2
+
4
+
5
x
2
+4x+5:
=
1
a=1
=
4
b=4
=
5
c=5
Calculando o discriminante (
Δ
Δ):
Δ
=
2
−
4
=
4
2
−
4
⋅
1
⋅
5
=
16
−
20
=
−
4
Δ=b
2
−4ac=4
2
−4⋅1⋅5=16−20=−4
Como o discriminante é negativo (
Δ
=
−
4
Δ=−4), não há raízes reais para este trinômio, o que indica que ele não pode ser fatorado em produtos de binômios com coeficientes reais.
Resposta Final
2
+
4
+
5
n
a
˜
o pode ser fatorado como
(
+
1
)
(
+
5
)
.
x
2
+4x+5 n
a
˜
o pode ser fatorado como (x+1)(x+5).
Forma Canônica Complexa
Se quisermos fatorar em termos de números complexos, podemos expressar as raízes complexas:
=
−
4
±
−
4
2
⋅
1
=
−
2
±
x=
2⋅1
−4±
−4
=−2±i
Portanto, a fatoração complexa é:
2
+
4
+
5
=
(
+
2
−
)
(
+
2
+
)
x
2
+4x+5=(x+2−i)(x+2+i)
Explicação passo a passo:
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