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Resposta:
Explicação passo a passo:Para determinar o valor de a de modo que u. v = (u + v). w, podemos calcular o produto escalar de u e v, e o produto escalar de (u + v) e w. O produto escalar de dois vetores a e b é dado por a. b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃, onde a₁, a₂ e a₃ são os componentes dos vetores a e b, respectivamente. Portanto, podemos calcular o produto escalar de u e v substituindo os valores dos vetores u e v na fórmula do produto escalar:
u. v = (1, a, -2a-1). (a, a-1, 1) = 1a + a(a-1) - 2a(1) - 1(a) = a + a² - 2a - a = a² - 3a
Agora, podemos calcular o produto escalar de (u + v) e w substituindo os valores dos vetores (u + v) e w na fórmula do produto escalar:
(u + v). w = ((1, a, -2a-1) + (a, a-1, 1)). (a, -1, 1) = (1a + a(a-1) - 2a(1) + a(a-1) - a(1) + a(a-1) - a(1)). (a, -1, 1) = (2a² - 3a + 2a² - 3a + a² - 3a). (a, -1, 1) = (4a² - 6a). (a, -1, 1) = 4a²(a) - 6a(-1) = 4a³ + 6a²
Agora, podemos igualar o produto escalar de u e v ao produto escalar de (u + v) e w e resolver para a:
a² - 3a = 4a³ + 6a²
Movendo todos os termos para um lado da equação, temos:
4a³ + 6a² - a² + 3a = 0
Simplificando, temos:
3a² + 5a = 0
Agora, podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula quadrática:
a = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Substituindo os valores de a, b e c na fórmula quadrática, temos:
a = (-5 ± √((-5)² - 4 * 3 * 0))) / (2 * 3)
a = (-5 ± √(25 - 0)) / 6
a = (-5 ± √25) / 6
a = (-5 ± 5) / 6
Portanto, as soluções para a equação 3a² + 5a = 0 são a = (-5 + 5) / 6 = 0 / 6 = 0 e a = (-5 - 5) / 6 = -10 / 6 = -5 / 3.
Portanto, o valor de a que satisfaz a condição u. v = (u + v). w é a = 0 / 6 = 0.