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Explicação passo-a-passo:
a2 + a5 = 14
a3 +a7= 8
a1 + r + a1 +4r = 14
a1 +2r + a1 +6r = 8
2a1 +5r = 14
2a1 +8r = 8 (×-1)
2a1 +5r = 14
- 2a1 - 8r = - 8
____________+
- 3r = 6
r = 6/-3
r = - 2
Substituir:
2a1 +5r = 14
2a1 +5.(-2) = 14
2a1 - 10 = 14
2a1 = 14 +10
2a1 = 24
a1 = 24/2
a1 = 12
Após os cálculos, concluímos que [tex]\mathsf{a_1 = 12}[/tex] e [tex]\mathsf{r = -2}[/tex].
Chama-se progressão aritmética (P.A.) uma sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência:
[tex]\mathsf{\begin{cases}\mathsf{a_1 = a} \\\mathsf{a_n = a_{n - 1} + r, \forall n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2}\end{cases}}[/tex]
em que a e r são números reais dados.
Na questão, utilizaremos a fórmula do termo geral de uma P.A., a qual é dada por:
[tex]\boxed{\mathsf{a_n = a_1 + (n - 1)r}}[/tex]
Onde [tex]\mathsf{a_n}[/tex] é o n-ésimo termo de sequência, [tex]\mathsf{a_1}[/tex] é o primeiro termo da sequência e [tex]\mathsf{r}[/tex] é a razão.
Da questão, temos que [tex]\mathsf{a_2 + a_5 = 14}[/tex] e [tex]\mathsf{a_3 + a_7 = 8}[/tex]. Equacionando em um sistema linear temos:
[tex]\mathsf{\begin{cases}\mathsf{a_2 + a_5 = 14}\\\mathsf{a_3 + a_7 = 8}\end{cases}}[/tex]
Aplicando a fórmula do termo geral para cada termo, teremos:
[tex]\mathsf{\begin{cases}\mathsf{a_2 + a_5 = 14}\\\mathsf{a_3 + a_7 = 8}\end{cases} \Longleftrightarrow}\\\\\\\mathsf{\begin{cases}\mathsf{a_1 + (2 - 1)r + a_1 + (5 - 1)r = 14}\\\mathsf{a_1 + (3 - 1)r + a_1 + (7 - 1)r = 8}\end{cases} \Longleftrightarrow}\\\\\\\mathsf{\begin{cases}\mathsf{2a_1 + r + 4r = 14}\\\mathsf{2a_1 + 2r + 6r = 8}\end{cases} \Longleftrightarrow}\\\\[/tex]
[tex]\mathsf{\begin{cases}\mathsf{2a_1 + 5r = 14 \ \textsf{\textbf{(I)}}}\\\mathsf{2a_1 + 8r = 8 \ \textsf{\textbf{(II)}}}\end{cases} \Longleftrightarrow}\\\\[/tex]
Basta agora resolver o sistema linear resultante. Fazendo [tex]\mathsf{\textsf{\textbf{(II)}} - \textsf{\textbf{(I)}}}[/tex], temos:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow 2a_1 + 8r - (2a_1 + 5r) = 8 - 14}\\\mathsf{\Longleftrightarrow 2a_1 + 8r - 2a_1 - 5r = - 6}\\\mathsf{\Longleftrightarrow 3r = - 6}\\\\\boxed{\mathsf{\Longleftrightarrow r = - 2}}[/tex]
Sendo assim, a razão da P.A. dada é igual a - 2. Basta então substituir tal valor em qualquer uma das equações e encontrar o valor de [tex]\mathsf{a_1}[/tex]. Substituindo [tex]\mathsf{r = - 2}[/tex] em [tex]\mathsf{\textsf{\textbf{(I)}}}[/tex], temos:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow 2a_1 + 5r = 14}\\\mathsf{\Longleftrightarrow 2a_1 + 5 \cdot (- 2) = 14}\\\mathsf{\Longleftrightarrow 2a_1 + - 10 = 14}\\\mathsf{\Longleftrightarrow a_1 - 5 = 7}\\\\\boxed{\mathsf{\Longleftrightarrow a_1 = 12}}[/tex]
Desta forma, concluímos que [tex]\mathsf{a_1 = 12}[/tex] e [tex]\mathsf{r = -2}[/tex].
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- brainly.com.br/tarefa/38666058.
- brainly.com.br/tarefa/49303847.
