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Sagot :
Para resolver este problema, precisamos usar conceitos de calorimetria, incluindo o calor específico, o calor latente de fusão e as equações de equilíbrio térmico. Vamos resolver passo a passo.
### Dados fornecidos:
- Massa de gelo (\(m_{\text{gelo}}\)): 100 g = 0,1 kg
- Massa de água (\(m_{\text{água}}\)): 200 g = 0,2 kg
- Temperatura inicial do gelo (\(T_{\text{gelo}}\)): 0 °C
- Temperatura inicial da água (\(T_{\text{água}}\)): 70 °C
- Calor latente de fusão do gelo (\(L_f\)): 334 kJ/kg
- Calor específico da água (\(c_{\text{água}}\)): 4,18 kJ/kg·°C
### a) Calor necessário para derreter todo o gelo
Para derreter o gelo, precisamos fornecer a quantidade de calor que é igual ao produto da massa do gelo pelo calor latente de fusão:
\[ Q_{\text{fusão}} = m_{\text{gelo}} \cdot L_f \]
Substituindo os valores:
\[ Q_{\text{fusão}} = 0,1 \text{ kg} \cdot 334 \text{ kJ/kg} \]
\[ Q_{\text{fusão}} = 33,4 \text{ kJ} \]
Portanto, o calor necessário para derreter todo o gelo é 33,4 kJ.
### b) Temperatura final de equilíbrio térmico do sistema
Para encontrar a temperatura final de equilíbrio térmico, precisamos calcular o calor trocado entre a água quente e o gelo derretido (que se transforma em água a 0 °C).
1. **Calor liberado pela água quente ao esfriar de 70 °C até a temperatura final \(T_f\):**
\[ Q_{\text{água}} = m_{\text{água}} \cdot c_{\text{água}} \cdot (T_{\text{água}} - T_f) \]
Substituindo os valores:
\[ Q_{\text{água}} = 0,2 \text{ kg} \cdot 4,18 \text{ kJ/kg·°C} \cdot (70 - T_f) \]
\[ Q_{\text{água}} = 0,836 \cdot (70 - T_f) \text{ kJ} \]
2. **Calor necessário para derreter o gelo:**
\[ Q_{\text{fusão}} = 33,4 \text{ kJ} \]
3. **Calor necessário para aquecer a água do gelo derretido de 0 °C até a temperatura final \(T_f\):**
\[ Q_{\text{gelo derretido}} = m_{\text{gelo}} \cdot c_{\text{água}} \cdot (T_f - 0) \]
Substituindo os valores:
\[ Q_{\text{gelo derretido}} = 0,1 \text{ kg} \cdot 4,18 \text{ kJ/kg·°C} \cdot T_f \]
\[ Q_{\text{gelo derretido}} = 0,418 \cdot T_f \text{ kJ} \]
4. **Equilíbrio térmico:**
No equilíbrio térmico, o calor perdido pela água quente é igual ao calor ganho pelo gelo (fusão) e pela água do gelo derretido:
\[ Q_{\text{água}} = Q_{\text{fusão}} + Q_{\text{gelo derretido}} \]
Substituindo as expressões:
\[ 0,836 \cdot (70 - T_f) = 33,4 + 0,418 \cdot T_f \]
Vamos resolver essa equação para \(T_f\):
\[ 0,836 \cdot 70 - 0,836 \cdot T_f = 33,4 + 0,418 \cdot T_f \]
\[ 58,52 - 0,836 \cdot T_f = 33,4 + 0,418 \cdot T_f \]
\[ 58,52 - 33,4 = 0,836 \cdot T_f + 0,418 \cdot T_f \]
\[ 25,12 = 1,254 \cdot T_f \]
\[ T_f = \frac{25,12}{1,254} \]
\[ T_f \approx 20,03 \text{ °C} \]
Portanto, a temperatura final de equilíbrio térmico do sistema é aproximadamente 20,03 °C.
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