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Para resolver esse problema, vamos denotar os três números inteiros consecutivos que representam as dimensões do paralelepípedo retângulo como (x), (x+1), e (x+2). A fórmula para a diagonal d de um paralelepípedo retângulo é dada por:
d = √[x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2]
Sabemos que a diagonal é √14 cm, então temos:
√14 = √[x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2]
Simplificando a equação, obtemos:
14 = x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2
Expandindo e simplificando ainda mais, temos:
14 = 3x^2 + 6x + 5
Subtraindo 14 de ambos os lados, obtemos uma equação quadrática:
3x^2 + 6x - 9 = 0
Dividindo por 3 para simplificar, temos:
x^2 + 2x - 3 = 0
Fatorando a equação quadrática, encontramos os valores de x:
(x + 3)(x - 1) = 0
Portanto, x pode ser -3 ou 1. Como estamos procurando números inteiros positivos, escolhemos x = 1. As dimensões do paralelepípedo são então 1, 2, e 3 cm.
O volume V do paralelepípedo é o produto das suas dimensões:
V = x • (x+1) • (x+2)
V = 1 • 2 • 3
V = 6
Portanto, o volume do paralelepípedo é 6 cm³.