Olá. AgenteRJ.
Para que duas matrizes sejam linha-equivalentes, qualquer linha de uma deve poder ser escrita como uma combinação linear das linhas da outra.
Tomemos, por exemplo, a primeira linha da primeira matriz, [2 0 0].
Devem existir, portanto, [tex]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3[/tex] únicos tais que:
[tex](2,0,0)=\lambda_1(1,1,2)+\lambda_2(-2,0,-1)+\lambda_3(1,3,5)\Rightarrow\\\\ \begin{cases} \lambda_1-2\lambda_2+\lambda_3=2 \\ \lambda_1+0\lambda_2+3\lambda_3=0 \\ 2\lambda_1-\lambda_2+5\lambda_3=0 \\ \end{cases}[/tex]
Ocorre, entretanto, que o determinante deste sistema é nulo, pois:
[tex]\begin{vmatrix} 1 &-2& 1 \\ 1 &0& 3 \\ 2 &-1 &5 \end{vmatrix} = \underbrace{-12-1-(-3-10)}_{\text{Regra de Sarrus}}=-13+13=0[/tex]
Como o determinante deste sistema é nulo, então não existem [tex]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3[/tex] únicos que satisfazem o sistema.
Ou seja: a linha [2 0 0] da primeira matriz não pode ser escrita como combinação linear das linhas da segunda matriz.
Isto é o bastante, portanto, para podermos afirmar que as duas matrizes não são linha-equivalentes.
