( UEPB ) A solução da inequação logarítmica
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\log_{1/2}\, x + \log_{1/2}\, (\, x-2 \,) > -\, 3 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{a) \: \:S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 4 \} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{b) \:\: S = \{ x \in \mathbb{R} \mid 2 < x < 4 \} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{c) \: \:S = \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 4 \} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{d) \: \:S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{e) \: \:S = \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 2 \} } $ }[/tex]
A partir dos devidos cálculos realizados, chegamos na conclusão de que S = { x ∈ R | 2 < x <4 } e tendo alternativa correta a letra B.
Inequação logarítmica é a desigualdade envolvendo funções logarítmicas.
- se a base do logaritmo for um número maior que 1, mantém-se a desigualdade.
- se a base do logaritmo for um número entre 0 e 1, inverte-se a desigualdade.
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\log_{1/2}\, x + \log_{1/2}\, (\, x-2 \,) > -\, 3 } $ }[/tex]
Resolução:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\log_{1/2}\, x + \log_{1/2}\, (\, x-2 \,) > -\, 3 } $ }[/tex]
Aplicando a propriedade de logaritmo do produto, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_{1/2}\, [ x \cdot (x-2)] > -\,3 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_{1/2}\, ( x^{2} -2x) > -\,3 } $ }[/tex]
Aplicando a propriedade de cologaritmo, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{-\, \log_{2}\, ( x^{2} -2x) > -\,3 } $ }[/tex]
Multiplicando- se por (-1 ) em ambos lados, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\\ \log_{2}\, ( x^{2} -2x) < 3 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x^{2} -2x < 2^{3} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x^{2} -2x < 8 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x^{2} -2x -8 < 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = b^2 -\:4ac } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = (-2)^2 -\:4 \cdot 1 \cdot (-8) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = 4 +32 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = 36 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x = \dfrac{-\:b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\:(-2) \pm \sqrt{ 36 } }{2 \cdot 1} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x = \dfrac{2 \pm 6}{2 } \Rightarrow\begin{cases} \sf x_1 = &\sf \dfrac{2 + 6}{2} = \dfrac{8}{2} = \:4 \\\\ \sf x_2 = &\sf \dfrac{2 - 6}{2} = \dfrac{- 4}{2} = - 2\end{cases} } $ }[/tex]
Pela restrição, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf x > 0 \quad \: (\, I \,) \\ \sf x-2 > 0 \implies x > 2 \quad (\,II \,) \end{cases} } $ }[/tex]
Portanto, o conjunto solução é S = { x ∈ R | 2 < x < 4 }.
Alternativa correta é a letra B.
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