Utilizando as propriedades das funções quadráticas, concluímos que a função procurada é [tex]\mathsf{f(x) = 2x^2 - 8x + \dfrac{7}{2}}[/tex].
Uma aplicação f de [tex]\mathbb{R}[/tex] em [tex]\mathbb{R}[/tex] recebe o nome de função quadrática ou do 2º grau quando associa a cada [tex]\mathsf{x \in \mathbb{R}}[/tex] o elemento [tex]\mathsf{(ax^2 + bx + c) \in \mathbb{R}}[/tex], em que [tex]\mathsf{\{a, b, c\} \subset \mathbb{R}}[/tex] e [tex]\mathsf{a \neq 0}[/tex].
[tex]\boxed{\mathsf{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \ | \ f(x) = ax^2 + bx + c}}[/tex]
Vamos inicialmente analisar o gráfico. Observe a concavidade da parábola posta é voltada para cima, ou seja, necessariamente teremos [tex]\mathsf{a > 0}[/tex].
Além disso, há uma propriedade do gráfico de uma função quadrática que relaciona a abscissa do vértice do gráfico com as raízes da função: este ponto é numericamente igual a média aritmética entre as raízes da função.
Do gráfico, temos que [tex]\mathsf{x_1 = 0{,}5}[/tex] e [tex]\mathsf{x_V = 1{,}5}[/tex].
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow x_V = \dfrac{x_1 + x_2}{2}}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow 1,5 = \dfrac{0,5 + x_2}{2}}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow 0,5 + x_2 = 3}\\\\\boxed{\mathsf{\Longleftrightarrow x_2 = 3,5}\\}[/tex]
O motivo pelo qual encontramos a outra raiz é a vantagem de escrever a equação em sua forma fatorada. Toda função do segundo grau [tex]\mathsf{y = ax^2 + bx + c}[/tex] pode ser escrita da seguinte forma:
[tex]\boxed{\mathsf{f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)}}[/tex]
Dado que temos [tex]\mathsf{x_1 = 0{,}5}[/tex], [tex]\mathsf{x_2 = 3{,}5}[/tex] e temos o ponto [tex]\mathsf{(1{,}5; - 4)}[/tex], temos:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow f(1,5) = - 4}\\\mathsf{\Longleftrightarrow a(1,5 - x_1)(1,5 - x_2) = - 4}\\\mathsf{\Longleftrightarrow a(1,5 - 0,5)(1,5 - 3,5) = - 4}\\\mathsf{\Longleftrightarrow a \cdot 1 \cdot (- 2{,}0) = - 4}\\\mathsf{\Longleftrightarrow -2a = - 4}\\\mathsf{\Longleftrightarrow 2a = 4}\\\\\boxed{\mathsf{\Longleftrightarrow a = 2}}[/tex]
Dado que [tex]\mathsf{a = 2}[/tex], basta substituir tal valor na forma fatorada e realizar a multiplicação para encontrar a função em sua forma geral.
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)}\\\mathsf{\Longleftrightarrow f(x) = 2(x - 0{,}5)(x - 3{,}5)}\\\mathsf{\Longleftrightarrow f(x) = 2(x^2 - 3{,}5x - 0{,}5x + 1{,}75)}\\\mathsf{\Longleftrightarrow f(x) = 2(x^2 - 4x + 1{,}75)}\\\\\boxed{\mathsf{\Longleftrightarrow f(x) = 2x^2 - 8x + \dfrac{7}{2}}}[/tex]
Sendo assim, a função procurada é [tex]\mathsf{f(x) = 2x^2 - 8x + \dfrac{7}{2}}[/tex].
Para mais conhecimento, acesse:
- brainly.com.br/tarefa/60513474.
